2014-02-09
873
Расчет переходного процесса методом численного интегрирования
Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как известно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелинейных) может быть решена методом численного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 8. Пусть на входе схемы источник постоянной ЭДС Em, а веберамперная характеристика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением i = a · sh (b · y).
 |
Система дифференциальных уравнений, составленых для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраическим уравнением аппроксимации характеристики нелинейного элемента будет иметь вид:
|
|
|
 |
Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами численного интегрирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода состоит в том, что период переменного тока Т разбивается на большое число шагов интегрирования, например N= 1000, дифференциалы переменных заменяются конечными приращениями (dy ÞD y, du ÞD u, di ÞD i, dt ÞD t),апроизводные переменных - отношением приращений (dy/dt ÞD y/ D t, du/dt ÞD u/ D t). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значения переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в качестве исходных данных принимают значения некоторых переменных на предыдущем шаге. В качестве таких функций принимают uС (t), iL (t),которые определяют запасы энергии в электрическом и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосредственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напряжений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение времени переходного процесса Т п). В результате последующей обработки массивов данных могут быть определены все параметры функций.
Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного интегрирования представлен ниже.
Исходные данные: параметры элементов схемы (E, R 1, R 2, C, a, b);начальные условия uС (0)=0, y (0)=0.
Принимаем: N -число шагов интегрирования, Т – расчетное время переходного процесса, h= D t=T/N - шаг интегрирования.
Алгоритм решения системы для произвольного к -го шага:
tк = h · к;
из (5) i 2 к = a · sh (b · y(к- 1 ) );
|
|
|
из (2) i 1 к = (E -uC(к-1)) / R 1;
из (1) i 3 к = i 1 к - i 2 к ;
из (3)(dy/dt) к = uC(к-1) - i 2 к R 2;
из (4)(duС/dt) к = i 3 к / C;
yк= y(к- 1 ) + h · (dy/dt) к;
uСк =uС(к- 1 ) + h ·(duС/dt) к .
Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характеристики нелинейных элементов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в переходном, так и в установившемся режиме.
