Компьютерное математическое моделирование

Классификация моделей.

В силу многозначности понятия «модель» в науке и технике не существует единой классификации видов моделирования: классификацию можно проводить по характеру моделей, по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования и т.д.

Основные виды моделей. По способу отображения действительности различают три основных вида моделей – эвристические, натурные и знаковые.

Эвристические модели, как правило, представляют собой образы, рисуемые в воображении человека. Их описание ведется словами естественного языка, такие модели называются вербальными, и обычно, неоднозначно и субъективно. Эти модели неформализуемы, то есть не описываются формально-логическими и математическими выражениями. Точность такой модели во многом зависит от богатства фантазии субъекта, его опыта и эрудиции. Эвристические модели используют на начальных этапах проектирования или других видов деятельности, когда сведений о разрабатываемой системе ещё мало. На последующих этапах проектирования эти модели заменяют на более конкретные и точные. Примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения, настоящий учебник. Среди эвристических моделей можно выделить и интуитивные модели, к которым относятся, например, произведения искусства – живопись, скульптура, литература, театр и т.д.

Отличительной чертой натурных моделей является их подобие реальным системам. Эти модели материальны, а отличаются они от оригинала либо размером, либо числом объектов, либо материалом элементов и т. п. По принадлежности к предметной области натурные модели подразделяют нафизические,технические, социальные, экономические и т. д. Примерами натурныхмоделей, как уменьшенная копия оригинала, являются глобус как модель Земли, игрушечный самолёт с учётом его аэродинамики.

Основное отличие знаковых моделей от остальных состоит в их вариативности – в кодировании одним знаковым описанием огромного количества конкретных вариантов поведения системы. Так, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами описывают и движение массы на пружине, и изменение тока в колебательном контуре, и множество других процессов. Однако еще более важно то, что в каждом из этих описаний одни и те же уравнения в буквенном виде соответствуют бесконечному числу комбинаций конкретных значений параметров. Так например, для процесса механических колебаний – это любые значения массы и жесткости пружины. Примерами знаковых моделей являются химические и ядерные формулы, графики, схемы, чертежи, топографические карты.

Среди знаковых моделей выделяется их важнейший класс – математические модели. Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Традиционно математическая модель допускает работу с таблицами, графиками, номограммами, выбор из совокупности процедур и элементов. Знаковые модели отличаются компактной записью и удобством работы, возможностью изучения в форме, абстрагированной от конкретного содержания. Все это позволяет считать знаковые модели наивысшей ступенью и рекомендовать стремиться к такой форме моделирования.

В курсе информатики именно компьютерное математическое моделирование рассматривается как ее составная часть. Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически. Информатика имеет самое непосредственное отношение и к математическим моделям, поскольку они являются основой применения компьютера при решении задач различной природы. Математическая модель исследуемого процесса или явления на определенной стадии преобразуется в вычислительную модель, которая затем превращается в алгоритм и компьютерную программу. Общая схема процесса компьютерного математического моделирования приведена на рис.4.6.

Рис. 4.6. Общая схема процесса компьютерного математического моделирования.

Основные общие свойства моделей. Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим входные величины через х₁, x₂,.... х_n; выходные через y₁,y₂, …,y_k. Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде

у_j = F_j (x₁, х₂,....x_n)(j =1,2,..., k),

где F_j – те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты. Запись F (x₁, x₂,..., х_n) – функция в самом широком смысле.

Первое свойство – линейность или нелинейность. Оно обычно расшифровывается как линейная /нелинейная зависимость выходов y₁,y₂, …,y_k. от входов х₁, x₂,.... х_n. Линейность может являться как естественным, хорошо соответствующим природе, так и искусственным свойством модели, которое ввели ради упрощения модели.

Второе общее свойство модели – непрерывность или дискретность. Оно выражается в структуре множеств, которым принадлежат параметры входов, выходов и параметры процесса. Таким образом, дискретность соответствующих множеств X, Y, T − ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность – к модели с непрерывными свойствами.

Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояний системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной, во втором – дискретной бесконечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием, когда система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства, так и искусственно внесенной особенностью. Типичный пример последнего утверждения – замена непрерывной математической функции на набор ее значений в фиксированных точках.

Следующее свойство модели – детерминированность или стохастичность. Входные параметры x_i могут быть известны точно или измеряться однозначно с любой степенью точности – тогда они являются детерминированными величинами. Так, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая система, входные параметры детерминированы - соответственно, однозначно развивается во времени такая система. Однако в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции системы. Его называют случайным процессом.

Говоря о характеристиках таких систем, используют выражения: «С какой вероятностью...», «С каким математическим ожиданием...» и т.п. Примеров случайных процессов не счесть как в науке, так и в обыденной жизни. Так, например, силы, действующие на летящий самолет в ветреную погоду, переход улицы при большом потоке транспорта и т.д.

Удобный практический прием состоит в том, что при малых отклонениях от фиксированных значений модель считается детерминированной, а отклонение результата исследуется методами оценок или анализа ее чувствительности. При значительных же отклонениях применяется методика стохастического исследования. Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми. Пример последнего: на перекрестке улиц можно ожидать зеленого сигнала светофора и полминуты, и две минуты (с разной вероятностью), но среднее время ожидания есть величина вполне определенная, и именно она может быть объектом моделирования.

Четвертое общее свойство модели – ее стационарность или нестационарность.

Если к процессу применить некоторое правило, но в разные моменты времени, и итогом его применения являются одинаковые результаты на выходе, то правило считается стационарным, а если различные – нестационарным. Если все правила в модели стационарны, то стационарной называется и сама модель. Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени некоторых физических величин. Так, например, стационарным является поток жидкости с постоянной скоростью, стационарна механическая система, в которой силы зависят только от координат и не зависят от времени.

Имитационное моделирование. В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук. Тогда получим математические модели в физике, биологии, социологии и т.д. Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату. Тогда получим модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.

Имитационное моделирование один из типов компьютерного математического моделирования. Оно является особенно незаменимым, когда невозможна строгая постановка математической задачи, отсутствует математический метод решения задачи, имеется значительная сложность полной модели. В последнем случае следует имитировать поведение частей модели. Наконец, имитацией пользуются и в тех случаях, когда невозможно реализовать математическую модель из-за недостатка квалификации исследователя.

Имитационное моделированиевозникло в системах со случайными воздействиями и процессами. Для таких систем в 1960-х гг. стали моделировать на ЭВМ пошаговое протекание процессов во времени с вводом в нужный момент случайных воздействий. Для того чтобы делать выводы и давать рекомендации по улучшению системы требовалось многократное воспроизведение хода такого процесса. Метод стали распространять на классы систем, где надо учесть возможно большее разнообразие в исходных данных, меняющиеся значения внутренних параметров системы, многовариантный режим работы, выбор управления, когда нет четкой цели и др. Можно дать следующее определение.

Моделирование процессов с многократным отслеживание хода их протекания каждый раз для различных условий называется имитационным моделированием.

Цель этого вида моделирования – получить представление о возможных границах или типах поведения системы, влияниях на нее управлений, случайных воздействий, изменений в структуре и других факторов.

Важной особенностью имитационного моделирования является удобное включение человека, его знаний, опыта, интуиции в процедуру исследования модели. Это делается между отдельными имитациями поведения системы или сериями имитаций. Человек изменяет сценарий имитации, что является важным звеном этого вида моделирования. Именно исследователь по результатам проведенных имитаций формирует следующие и, осмысливая полученные сведения, эффективно познает систему или двигается в ее исследовании к поставленной цели.

Значительная роль человека в имитационном моделировании даже позволяет говорить об определенном противопоставлении методов чисто математического моделирования и имитации. Однако противопоставлять имитационное моделирование математическому в целом было бы методически неверно. Правильнее ставить вопрос об их удачном совмещении. Так, строгое решение математических задач, как правило, является составной частью имитационной модели. С другой стороны, исследователь крайне редко удовлетворяется однократным решением поставленной математической задачи. Обычно он стремится решить набор близких задач с помощью имитационной модели.

Вопросы

1.Что такое модель и для чего они используются?

2. Перечислите типы моделей.

3. Расскажите об общих свойствах модели.

5. Расскажите об имитационном моделировании.

6. Что такое «связь»? Какие типы связи различают?

7. Разработайте примеры древовидных структур из окружающей реальности.

8. Разработайте примеры графовых структур из окружающей реальности.

9. Разработайте примеры циклических структур из окружающей реальности.

10. Приведите химические формулы и определите, к какой структуре они принадлежат.