Метод аналитического выравнивания

Для того, чтобы дать количественную модель выражающую основную тенденцию изменения уровня динамического ряда во времени используется аналитическое выравнивание ряда динамики. Основное содержание метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается, как функция времени:

, (8.1)

где -уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должно быть основано на теоретическом анализе, выявляющем характерность развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производиться методом наименьших квадратов в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уравнениями.

(8.2)

Параметры уравнения a_i удовлетворяющие этому условию могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой .

Параметры a₀,a₁ согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений:

(8.3)

у – фактические (эмпирические) уровни ряда;

t – время или порядковый номер периода или момента времени;

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (Σt = 0), принять центральный интервал или момент.

При четном числе уравнений (например 6) значение t условного обозначения времени будут такими:

Таблица 28

Условные обозначения времени

2002г.	2003г.	2004г.	2005г.	2006г.	2007г.
-5	-3	-1	+1	+3	+5

При нечетном числе уравнений (например 7), значения устанавливаются по другому:

Таблица 29

Условные обозначения времени

-3	-2	-1		+1	+2	+3

В обоих случаях ∑t = 0, тогда система нормальных уравнений примет вид:

Из первого уравнения Из второго уравнения (8.4)

Проиллюстрируем на примере о выработке продукции на одного среднегодового работника по данным табл.24 (табл.30)

Таблица 30

Выравнивание по прямой ряда динамики выработки продукции на одного среднегодового работника.

Год	V, кг/чел.	Порядковый номер года,		yt	=16,35+0,515t
	13,1	- 4		- 52,4	14,39	- 1,29	1,6641
	9,8	- 3		- 29,4	14,80	- 5,00	25,0000
	17,0	- 2		- 34,0	15,31	+ 1,69	2,8561
	22,6	- 1		- 22,6	15,80	+ 6,80	46,2400
	18,2	+ 1		18,2	16,84	+ 1,36	1,8496
	17,4	+ 2		34,8	17,35	+ 0,05	0,0025
	14,5	+ 3		43,5	17,90	- 3,40	11,5600
	18,2	+ 4		72,8	18,40	- 0,20	0,0400
итого	130,8			30,9	130,8		89,2123

t-порядковый номер;

Уравнение прямой представляет собой трендовую модель искомой функции имеет вид

Подставляя в данное уравнение последовательно значение t находим выровненные уровни (табл. 30).