Плотность вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью вероятностей непрерывной случайной величины называется функция , равная производной функции распределения, т.е. .

Часто вместо термина «плотность вероятностей» используют термин «дифференциальная функция распределения» или «плотность распределения».

Замечание. Зная плотность вероятностей, можно найти функцию распределения по формуле:

.

Свойства плотности вероятностей .

1. Плотность вероятностей неотрицательна, т.е. .

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, заключенное в интервале , определяется по формуле:

.

3. Несобственный интеграл от плотности вероятностей в пределах от до равен единице:

.

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат интервалу , то .

Задача 1. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей
Найти функцию распределения.

Решение. Применим формулу .

1) Пусть .

.

2) Пусть .

3) Пусть .

Итак, получили

Задача 2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
Найти плотность вероятностей.

Решение. Применим формулу .

1) Пусть . .

2) Пусть . .

3) Пусть . .

Итак, получили