2014-02-09
408
Функцией распределения случайной величины 
называется функция 
, определяющая для каждого значения 
вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.
.
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Если функция распределения непрерывна на всей числовой прямой, то случайная величина называется непрерывной.
Свойства функции распределения .
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку 
:
.
2. Функция распределения является неубывающей функцией:
если 
, то 
.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале 
, равна приращению функции распределения на этом интервале:
.
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, например 
, равна нулю:
.
5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу 
, то:
при 
; 
при 
.
Задача 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения 
. Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. На числовую прямую нанесем возможные значения случайной величины :
Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка:
, 
, 
, 
.
1) Пусть 
.
Значения, меньшие числа 2, случайная величина принимать не может, поэтому .
2) Пусть 
.
В заштрихованный промежуток попадает одно возможное значение случайной величины , поэтому 
.
3) Пусть 
.
В заштрихованный промежуток попадают два возможных значения случайной величины , поэтому
.
4) Пусть 
.
В заштрихованный промежуток попадают все возможные значения случайной величины , поэтому .
Итак, получили следующую функцию распределения:
| 
|
Задача 2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения 
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу 
, 
, 
.
Решение. Применим формулу .
;
;
.
Ответ: 
, 
, 
.
