Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения случайной величины называется функция , определяющая для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Если функция распределения непрерывна на всей числовой прямой, то случайная величина называется непрерывной.

Свойства функции распределения .

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :

2. Функция распределения является неубывающей функцией:

если , то .

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, например , равна нулю:

5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

при ; при .

Задача 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения . Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение. На числовую прямую нанесем возможные значения случайной величины :

Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка:

, , , .

1) Пусть .

Значения, меньшие числа 2, случайная величина принимать не может, поэтому .

2) Пусть .

В заштрихованный промежуток попадает одно возможное значение случайной величины , поэтому .

3) Пусть .

В заштрихованный промежуток попадают два возможных значения случайной величины , поэтому

4) Пусть .

В заштрихованный промежуток попадают все возможные значения случайной величины , поэтому .

Итак, получили следующую функцию распределения:

Задача 2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , , .