Пространство и время

Динамическая система

Объект и окружение

Рассмотрим такие понятия, как объект и окружение. В качестве примера возьмем объект – шарик, бросаемый под некоторым углом. Поскольку мы рассматриваем поведение шарика в пространстве, то необходимо определить – какие внешние воздействия будут на наго оказываться. В упрощенном виде можно считать, что на шарик оказывается только сила притяжение и сила, приложенная к нему в момент бросания. Такое упрощенное представление позволяет описать поведение объекта в довольно простом виде несколькими уравнениями, которые можно легко решить методами школьной физики. И, грубо говоря, в данном случае можно говорить о независимости объекта от внешней среды, поскольку действующие на него силы постоянны. Если усложнить задачу, учитывая влияние на шарик сопротивления воздуха, силы ветра и т.д., то сложность задачи увеличивается на несколько порядков и ее решение является очень сложной задачей. Таким образом, при моделировании, необходимо вносить разумные ограничения на количество воздействий, оказываемых на изучаемый объект.

Динамическая модель – это модель, в которой вектор состояния явно или неявно зависит от времени.

Динамическая система – это система, которая изменяет свое состояние с течением времени. Даже если на эту модель никак не воздействовать извне, то при продвижении времени в ней все равно что-то будет изменяться. Примером может служить тело, брошенное под углом к горизонту, маятник.

Время является независимой сущностью реального мира и характеризуется?

- непрерывностью;

- равномерным течением от прошлого к будущему;

- абсолютностью.

Это означает, что в окружающем нас мире существуют единые (абсолютные) часы, непрерывно показывающие движение времени, и в какой бы точке пространства не произошли интересующие нас события, сравнивая из времена наступления, всегда можно сказать, что произошло раньше, что позже, что одновременно.

Математической моделью ньютоновского непрерывного времени является вещественная ось, по которой с постоянной скоростью пробегает переменная t (время), двигаясь из прошлого в будущее, в пределах от –∞ до ∞. Как правило, при практическом моделировании рассматривается конечный интервал [0;T], где величина T определяется целями эксперимента.

Однако, существуют модели, в которых имеет смысл следить только за фактом наступления событий, не интересуясь временем их наступления. Например, если следить только за праздниками в году, то движение времени будет ощущаться лишь с наступлением очередного праздника. Последовательно наступающие события можно перенумеровать, и мы получим последовательность временных отсчетов – тактов или тиков. Математической моделью времени, заданного упорядоченной последовательностью событий, является целочисленная ось, по которой от –∞ до ∞ пробегает целочисленная переменная i. Скорость движения по этой оси при этом не имеет значения. Такое время можно назвать событийным, и оно представляет собой разновидность дискретного времени.

Однако под дискретным временем понимают время, представляющее собой последовательность равноудаленных друг от друга вещественных чисел. Использование такого дискретного времени характерно, например, для моделей экономических систем. В этих моделях существует естественный отчетный период длительностью h (год, квартал, месяц), к моменту окончания которого и привязываются все значения переменных. Отсчеты можно перенумеровать и получить последовательность целых чисел i€N (это событийное время, событием в котором считается наступление очередного отчетного периода), но можно использовать в качестве времени и значения . Вектор состояния теперь удовлетворяет разностному уравнению , связывающему очередное состояние системы с предыдущими. Фазовая траектория представляет собой сеточные функции (Рис. 2). Для таких функций никакие промежуточные значения вне сетки не определены.