М. 8. Распределение напряжений при действии местной равномерно распределенной нагрузки

М.7.17. В чем заключается принцип СенВенена в теории упругости?

М.7.15. Какое условие накладывается на эпюры напряжений для выполнения условия равновесия?

М.7.14. Как выглядят эпюры напряжений при действии сосредоточенной силы в случае плоской задачи и чем они отличаются от эпюр пространственной задачи?

Эпюры напряжений в случае плоской задачи имеют тот же вид, что и в пространственной задаче, однако ординаты их другие. Напряжения в случае плоской задачи рассеиваются как бы медленнее, чем в случае пространственной задачи.

Для выполнения условия равновесия необходимо, чтобы в случае пространственной задачи объем эпюры s _z при заданной постоянной величине z равнялся бы действующей сосредоточенной силе.

В случае плоской задачи это условие сохраняется, однако оно упрощается, и поэтому площадь эпюры s _z при постоянной величине z должна быть равна внешней нагрузке.

М.7.16*. От каких характеристик деформируемости зависят напряжения в случае пространственной и плоской задач о сосредоточенной силе на поверхности?

В случае пространственной задачи ряд напряжений, в том числе s _z, не зависят от характеристик деформируемости, а остальные зависят от коэффициента Пуассона m ₀. В случае плоской задачи все напряжения отm ₀ не зависят.

Принцип СенВенена заключается в том, что с удалением от места приложения усилия напряжения оказываются все менее зависящими от характера этого усилия f (сосредоточенная сила, несколько сосредоточенных сил или распределенная на конечном участке нагрузка) при условии, если равнодействующая всех усилий, приложенных на границе, одинакова.

М.8.1*. Каким образом осуществить перенос начала координат при действии сосредоточенной силы в случае плоской задачи?

В случае плоской задачи перенос начала координат вдоль горизонтальной оси x на величину x осуществляется следующим образом. Напряжение s _z при совпадении начала координат с точкой приложения силы определяется как

Для того, чтобы перенести начало координат, поскольку под r понимается расстояние между рассматриваемой точкой и точкой приложения силы, следует заменить координату x на x _x, а силу P считать распределенной на участке dx, следовательно, нужно заменить P на pdx, причем p будет функцией координаты x (рис.M.8.1,а). Таким образом получим

Рис.М.8.1. Схема для переноса начала координат с целью дальнейшего интегрирования основных зависимостей: а в плоской задаче; б в пространственной задаче (М.8.2)