Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

При течении жидкости между её отдельными частицами возникают силы вязкого сопротивления. В газах эти силы сравнительно невелики, и ими можно пренебречь. Однако и во многих случаях течения жидкости влияние её вязкости так же оказывается несущественным. Идеальной называется жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы внутреннего трения (вязкости).

Выделим в стационарном потоке идеальной жидкости элементарный объём dV = dx × dy × dz в виде кубика в точке (рис. 11.5). Рассмотрим силы, действующие со стороны окружающей жидкости на каждую грань кубика. Эти силы определяют движение выделенного элемента жидкости. В направлении z действуют силы давления

F_z =и F_{(z+dz )} = и сила тяжести F_T = r_ж gdV = r_ж gdxdydz.

Рис. 11.5

Запишем уравнение второго закона Ньютона для движения этого элемента в направлении z:

.

Здесь: dm = r_ж dxdydz — масса «кубика»;

a_z = — его ускорение в направлении z.

Упростив, получим:

.

Для направлений x и y запишем аналогичные уравнения (без силы тяжести, разумеется):

;

.

Объединим эти скалярные уравнения в одно векторное:

,

или

. (11.5)

Уравнение (11.5) — основное уравнение динамики идеальной жидкости. В этом уравнении вектор называется градиентом давления P и обозначается grad P.