Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в потоке трубку тока, а в ней — объём, ограниченный стенками трубки и двумя сечениями S ₁ и S ₂ (рис. 11.6). Скорости течения в этих сечениях — v ₁ и v ₂ — соответственно, а сами сечения расположены на уровнях h ₁ и h ₂. Спустя время D t выделенные сечения переместятся вместе с жидкостью вдоль линии тока на расстояния D l ₁ = v ₁D t и D l ₂ = v ₂D t. Вычислим изменение энергии выделенного объёма жидкости за промежуток времени D t:

.

Рис. 11.6

Это выражение можно упростить, учитывая, во-первых, несжимаемость жидкости: r₁ = r₂ = r и, во-вторых, уравнение неразрывности потока: S ₁ v ₁D t = S ₂ v ₂D t = D V:

. (11.6)

Поскольку сила вязкого сопротивления при этом перемещении отсутствует (жидкость идеальна), найденное изменение энергии обусловлено работой только сил давления А (Р) = Е ₂ – Е ₁:

A = P ₁ S ₁D l ₁ – P ₂ S ₂D l ₂ = (P ₁ – P ₂)D V. (11.7)

Приравняв работу сил давления (11.7) изменению механической энергии выделенного элемента трубки тока (11.6), получим:

.

Последнее уравнение принято представлять так:

.

Сечения S ₁ и S ₂ выбраны произвольно, поэтому полученный результат можно трактовать шире: при стационарном течении идеальной жидкости в любом сечении трубки тока выполняется следующее условие:

(11.8)

Это и есть уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости. В этом уравнении: Р — статическое давление;

r gh — гидростатическое давление;

— динамическое давление.

Далее на ряде примеров покажем, как используется уравнение Бернулли для решения различных задач гидродинамики.