Средние величины процентов

Рассмотрим некоторые виды средних величин, которые ши­роко применяются в финансовых операциях. Средние величины позволяют снижать имеющуюся информацию. Так, если в отрас­ли занято n человек и по каждому работнику имеется информация о его доходах ). то можно, например рассчитать сред­нюю зарплату по отрасли, вычислив величину:

(4.2.5)

называемую средним арифметическим.

Можно также пользоваться и такой величиной, как среднее геометрическое. Пусть, например, имеются данные об индексах инфляции α_i- по каждому из n лет (i = 1,n). Так как α_i есть отноше­ние уровня цен на конец i-ro года к уровню цен на начало года, то за все n лет уровень увеличивается в раз. Поэтому для определения среднего годового индекса цен лучше использо­вать среднее геометрическое, равное:

. (4.2.6)

Отметим еще одну среднюю величину, которую называют сред­ним гармоническим и равную:

Анлиз показывает, что

где — среднее квадратическое.

Пример 4.2. Пусть в течение 1-го, 2-го и 3-го годов цены уве­личивались на 30%, а в течение 4-го и 5-го годов снижались на 45%. Среднее годовое изменение уровня цен за 5 лет, полученное с помощью среднего арифметического, составит:

а среднее геометрическое изменение цен будет:

Так как за пять лет уровень цен действительно понизился, то можно сделать вывод, что целесообразно применять среднее гео­метрическое при определении среднего индекса цен за ряд после­довательных лет.

Рассмотрим другой пример. Пусть в обращении имеется n на­личных рублей и t_i (i = 1,n) есть среднее время, в течение которого i-ый рубль находился в собственности одного человека. Среднее время, в течение которого каждый рубль принадлежит одному лицу, равно:

Рассмотрим другой подход. Вычислим число оборотов каж­дого рубля за год по формуле и найдем среднее арифметическое числа оборотов:

и определим среднее время по формуле:

т.е. имеем среднее гармоническое оборота рублей

Если за V принять суммарный объем всех операций за год с участием наличных денег, то связь между массой наличных денег n и объемом операций имеет вид:

Анализ показывает, что среднее время, рассчитанное как сред­нее арифметическое, является завышенной оценкой среднего вре­мени, рассчитанного как среднее гармоническое.