Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра.
(3.5) |
Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.
Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что в множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.
Пусть . Комплексное число называется корнем -й степени из , если , т.е.
или
.
Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).
Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно, , а .
Таким образом, комплексное число , которое является корнем -й степени из имеет вид:
(3.6) |
Придавая различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, можно записать в виде , где . Тогда ,
Т.е. значение аргумента при данном отличается от значения аргумента при на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .
Итак, для каждого ненулевого числа существует ровно корней -й степени из .
Пример. Вычислить .
Представим число, стоящее под знаком корня в тригонометрической форме.
.
Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа
.
Отсюда полагая, что , получим
;
;
.