Теорема (свойство свободных переменных). Если свободным переменным системы придать произвольные значения , тогда

1. можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
2. если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.

Доказательство: Если значения свободных переменных подставить в систему, то получится:

То есть

является решением системы уравнений, так как после подстановки координат в эту систему получаются верные равенства. Поскольку у значения свободных переменных равны, соответственно, то – и есть искомое решение системы.

Следствие. Все решения системы получаются так же, как и решение .

Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.

Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.