Лекция 13. Системы линейных уравнений
Контрольные вопросы к теме
1. Понятие квадратичной формы.
2. Построение матрицы квадратичной формы.
3. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
4. Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.
5. Канонический базис Якоби.
6. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:
система линейных уравнений; решение системы линейных уравнений; совместная система линейных уравнений; определенная система линейных уравнений; эквивалентные системы линейных уравнений; матрица системы; расширенная матрица системы линейных уравнений; теорема Кронекера-Капелли; правило Крамера; метод Гаусса; однородная система линейных уравнений; разрешенная переменная; набор разрешенных переменных; свободные переменные.
Для исследования процессов функционирования экономики, при построении математических моделей конкретных задач, возникающих перед менеджером в процессе его деятельности, в ряде случаев используются системы линейных уравнений. Так, например, при межотраслевом анализе – изменение объема выпуска отрасли при фиксированном коэффициенте прямых затрат в случае изменения спроса необходимо искать путем решения системы линейных уравнений, которая является моделью изучаемого процесса.
|
|
Нахождение решений системы линейных уравнений может быть осуществлено различными методами. Выбор метода зависит от рассматриваемой задачи и соответствующей математической модели. В ряде случаев необходимо лишь знать – существует ли решение рассматриваемой системы.
Цель данного раздела – исследовать совместность системы линейных уравнений и дать некоторые методы их решения. Эти методы позволяют найти точное решение системы. Кроме этого, существуют методы, позволяющие находить приближенные решения, например, метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод пошагового агрегирования. В этом разделе они не рассматриваются.
Рассмотрим совокупность уравнений.
, | (13.1) |
где ‑ действительные числа, а ‑ неизвестные. Эту совокупность называют системой линейных уравнений с неизвестными, числа ‑ коэффициенты системы (1), ‑ свободные члены. Упорядоченный набор действительных чисел называется решением системы (13.1), если после подстановки в каждое из уравнений (13.1) вместо чисел , это уравнение превращается в тождество.
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.
Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.
|
|
Две системы с неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Матрица , составленная из коэффициентов системы (13.1), называется матрицей системы.
Обозначив через , систему (13.1) можно записать в виде матричного уравнения
(13.2) |
Матрица , полученная приписывание к матрице справа столбца свободных членов системы (13.1), называется расширенной матрицей системы (13.1).
При исследовании системы (13.1) ищут ответ на следующие три вопроса:
1. когда система совместна;
2. если система совместна, то определена ли она;
3. как отыскать ее решения.