2014-02-09
1002
Критерий совместности системы линейных уравнений
Ответ на первый вопрос дает теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности системы линейных уравнений.
Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.
Рассмотрим невырожденные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых 
и определитель матрицы системы отличен от нуля. Определитель матрицы называется определителем системы. Следующая теорема, называемая правилом Крамера, отвечает на второй вопрос.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
| (13.3) |
Коэффициенты этой системы составляют квадратную матрицу второго порядка
| (13.4) |
Решим систему (13.3). Для этого умножим первое уравнение системы на 
, второе – на 
и вычтем из первого уравнения второе
.
Аналогично, исключая 
, получим 
.
Если 
, то найдем единственное решение системы: 
.
Общий знаменатель значений неизвестных и 
, обозначаемый через 
, называется определителем матрицы 
. Это определитель второго порядка. Числителями неизвестных и являются определители тоже второго порядка 
.
|
|
|
Откуда 
.
Мы получили правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Правило Крамера. Если определитель 
системы 
линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение: 
, где 
‑ определитель, получаемый из заменой 
-го столбца столбцом свободных членов.
Невырожденную систему линейных уравнений 
можно решить и иным способом.
Поскольку матрица ‑ невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица 
. Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим 
, откуда 
.
Мы ответили на три вопроса относительно систем линейных уравнений. Однако применение теоремы Крамера, которая позволила дать этот ответ, приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.
