Решение уравнения

Задача Эйлера

Для выяснения условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия, рассмотрим пример (задача Эйлера) о сжатии стержня Критическая сила в этой задаче будет равна такой осевой силе, при которой стержень может находиться в слегка изогнутом состоянии. При малых прогибах стержня можно использовать дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

EJy" = М = - Fy

Знак минус в правой части показывает, что момент силы стремится увеличить отрицательную кривизну упругой линии. Уравнение можно переписать в виде

y" + k²y = 0, где

Решение уравнения у = C1 siп кx + C2 соs kx, С1 и C2 — произвольные постоянные, определяемые из краевых условий:при х=0 у(0)=0 Þ C2 = 0; при х=l, у(l)=0: Þ два решения :1) C1 =0 и 2) sin kl=0.

При C1 = С2 = О перемещение тождественно у=0, стержень прямолинеен. Это не условия задачи, так как рассматривается изогнутый стержень. Тогда sin kl=0. или kl = pп где, п — произвольное целое число. Пока величина k < p l (F мала), значение sin kl ¹ 0, стержень сохраняет прямолинейную форму.Как только k = п/l или, что то же самое, F = Fkp =p²EJ / l² стержень потеряет устойчивость и изогнется. Эта сила, соответствующая

п = 1, и y= C1 sin(px / l), называется первой критической (эйлеровой) силой. При этом стержень изгибается по полуволне синусоиды