2014-02-09
686
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, принимает хотя бы в одной точке отрезка наибольшее значение и хотя бы в одной наименьшее. (Разумеется таких точек несколько).
Это утверждение становится неверным, если отрезок 
заменить интервалом 
(или 
)
Пример. 
То же и для разрывных функций.
Теорема 2. Функция, непрерывная на отрезке и принимающая на концах отрезка значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри отрезка.
Геометрически это очевидно 
функция обязательно пересечет ось 
.
Для разрывных функций утверждение не проходит.
Теорема 3. Является обобщением теоремы 2.
Пусть 
определена непрерывна на . Если на концах отрезка функция принимает неравные значения 
и 
, то каково бы ни было число 
, заключенное между и , найдется такая точка 
, что 
.
Следствие теоремы 3. Если непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между наибольшим и наименьшим.
