Непрерывность функций

Пусть точка -области определения функции и любая окрестность содержит отличные от значения .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

имеет в т. предел и этот предел равен значению функции в т. .

т.е.

Определение. – непрерывна в т. , если что т. к. () , т. е. для непрерывной функции в т. можно менять местами символ и

Определение. называется непрерывной в т. справа (слева), если правый (левый) предел этой функции в т. и равен

Запись: или

или

Определение. Если непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где , то говорят, что она непрерывна на интервале .

Определение. Если непрерывна в каждой точке интервала и на концах этого интервала, (справа и слева), то, следовательно, она непрерывна на отрезке .

Пример 1. непрерывна на любом отрезке .

Пример 2. (разрывается на отдельные кривые в т. )

Пример 3. (в т. )

Пример 4. (в т. )

Все эти точки называются точками разрыва.

Определение. Если для функции в т. нарушается условие непрерывности, то - точка разрыва.

Это значит: 1. Или предел бесконечен или не существует.

2. Либо предел существует, но не равен .