Вопросы. Односторонние пределы монотонной функции

Односторонние пределы монотонной функции

Пусть функция определена на.

Определение 8. Функция называется ограниченной сверху на, если, что для выполняется неравенство:. Постоянная называется верхней границей функции на.

Верхних границ у ограниченной сверху функции существует бесконечно много. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей и обозначается:.

Определение 9. Функция называется ограниченной снизу на, если, что для выполняется неравенство:. Постоянная называется нижней границей функции на.

Нижних границ у ограниченной снизу функции существует бесконечно много. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей и обозначается:.

Определение 10. Функция называется ограниченной на, если она ограничена и снизу, и сверху. Иначе: функция является ограниченной на, если, что для выполняется неравенство:.

Пример. Функция является ограниченной, когда, поскольку для:.

Пример. Функция является ограниченной, когда, но не будет ограниченной для.

Определение 11. Функция называется монотонно возрастающей на множестве, если для из того, что следует, что.Функция называется строго монотонно возрастающей на множестве, если для из того, что следует, что.

Определение 12. Функция называется монотонно убывающей на множестве, если для из того, что следует, что.Функция называется строго монотонно убывающей на множестве, если для из того, что следует, что.

Определение 13. Монотонно возрастающие, строго монотонно возрастающие, монотонно убывающие, строго монотонно убывающие функции называются монотонными функциями.

Пример. Функция является строго монотонно возрастающей, когда, строго монотонно убывающей, когда, не является монотонной, когда.

Теорема 6. Пусть функция определена и монотонна на, тогда для в каждой точке существуют оба односторонних предела.

1. Определения предела функции по Коши, по Гейне.

2. Геометрический смысл предела функции в точке.

3. Как может вообще вести себя функция в точке?

4. Может ли функция в точке иметь предел, если она не определена в этой точке?

5. Как влияет на существование предела функции и значение этого предела в точке поведение функции в самой точке? Ответ объяснить.

6. Сколько пределов может иметь функция в точке?

7. Пусть для функций и:,. Доказать, что.

8. Условие Коши для функции в точке. Критерий Коши существования предела функции в точке.

9. Определения односторонних пределов функции в точке. Может ли функция не иметь односторонних пределов в точке? Привести примеры.

10. Ограниченность функции. Привести примеры ограниченных и неограниченных функций.

11. Монотонность функции. Теорема об односторонних пределах монотонной функции.