2014-02-10
1924
Тема. Уравнения эллиптического типа. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле для круга.
Л Е К Ц И И 13 - 14
1. Стационарное температурное поле. Ранее мы получили, что температура нестационарного теплового поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности 
. Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры 
, не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа
. (1)
При наличии источников тепла получаем уравнение
. (2)
Неоднородное уравнение Лапласа (2) называют уравнением Пуассона.
Рассмотрим некоторый объем T, ограниченный поверхностью S. Задача о стационарном распределении температуры внутри тела T формулируется следующим образом:
Найти функцию , удовлетворяющую внутри T уравнению
и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:
| I | 
| на S | (первая краевая задача) |
| II | 
| на S | (вторая краевая задача) |
| III | 
| на S | (третья краевая задача) |
где 
- заданные функции, 
- производная по внешней нормали к поверхности S. Физический смысл этих граничных условий очевиден. Первую краевую задачу для уравнения Лапласа часто называют задачей Дирихле, а вторую задачу - задачей Неймана.
Если ищется решение в области T внутренней (или внешней) по отношению к поверхности S, то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей.
2. Потенциальное течение жидкости. Пусть внутри некоторого объема T с границей S имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность r = const), характеризуемое скоростью 
. Если течение жидкости не вихревое, то скорость v является потенциальным вектором, то есть,
v = -grad j, (3)
где j - скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то
div v = 0. (4)
Подставляя сюда выражение (3) для v, получим:
div grad j = 0
или
, (5)
т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
