Рассмотрим уравнение Лапласа

Фундаментальные решения уравнения Лапласа

,

где оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат определяется соответственно

; (1)

; (2)

. (3)

Важную роль при решении задач для уравнений Лапласа и Пуассона представляет решение уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией.

Найдем решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию сферической симметрии, когда функция u зависит только от расстояния точки до начала координат. В этом случае уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет вид

. (4)

Интегрируя уравнение (13), получим

, , .

При и получаем функцию

, (5)

которая удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки , где она обращается в бесконечность. Такую функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. С точностью до множителя пропорциональности она совпадает с полем точечного заряда e, помещенного в начале координат, потенциал этого поля равен

.

В задаче с осевой симметрией, когда функция u в цилиндрической системе координат не зависит от j и z, уравнение Лапласа имеет вид

. (6)

Интегрируя уравнение (6), находим

, , .

Полагая и , будем иметь

, .

Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости. Аналогично, функция удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки , где она обращается в бесконечность, и с точностью до множителя совпадает с полем заряженной линии, потенциал которого равен

,

где - плотность заряда, рассчитанная на единицу длины.