Отсюда на основании формул (6) и (7) заключаем, что

, (9)

то есть, потенциал электростатического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа.

3. Потенциал электростатического поля. Рассмотрим электрическое поле стационарных зарядов. Из стационарности процесса следует, что

rot E = 0,

то есть, поле является потенциальным и

E = -grad j.

Пусть - объемная плотность зарядов, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной . Исходя из основного закона электродинамики

,

где T – некоторый объем, S – поверхность, его ограничивающая, - сумма всех зарядов внутри T, и пользуясь теоремой Остроградского

,

получаем:

div E = 4pr.

Подставляя сюда выражение (8) для E, будем иметь:

,

то есть, электростатический потенциал j удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет (r = 0), то потенциал j должен удовлетворять уравнению Лапласа .

Основные краевые задачи для рассмотренных процессов относятся к трем типам, приведенным выше.