Тема. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнение Бесселя. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение Лежандра

Л Е К Ц И И 15 - 17

Рис. 5.31. Спектральная характеристика лазера Рис. 5.32. Диаграммы направленности лазера

Наряду с пороговой плотностью тока важными параметрами лазера являются квантовый выход и КПД. Внешний квантовый выход определяется выражением (5.6).

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет следующий вид:

. (1)

Будем искать решение уравнения (1) методом Фурье, имея в виду, что искомая функция зависит от трех переменных.

Положим, что

(2)

и подставим это произведение в (1). Тогда

Если полученное равенство умножить на и член, зависящий от j, перенести вправо, то придем к равенству:

Но равенство двух функций от различных аргументов возможно тогда и только тогда, когда обе они равны одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через , получаем два уравнения:

, (3)

. (4)

Поскольку (3) является уравнением в частных производных, то применим к нему метод Фурье с целью разделения переменных. Итак, пусть

. (5)

Деля (3) на и подставляя в него (5), приходим опять к равенству:

Делим далее на произведение RZ и переносим вправо член, зависящий от z:

Мы получили равенство двух функций от различных аргументов. Приравнивая обе части этого равенства постоянной , получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

. (6)

. (7)

Ясно, что совокупность уравнений (4), (6) и (7) эквивалентна исходному уравнению Лапласа (1) и позволяет в принципе определить функции , , , а следовательно, и искомую функцию U, которая согласно (2) и (5) равна:

. (8)

Поскольку дифференциальные уравнения (4) и (7) являются хорошо известными линейными и однородными уравнениями второго порядка, то их общие решения можно сразу же написать:

, (9)

. (10)

Таким образом, задача сводится к решению дифференциального уравнения (6) с переменными коэффициентами. Его, очевидно, можно представить, так:

. (6а)

Если ввести новую независимую переменную , то (6а) несколько упрощается и принимает форму так называемого уравнения Бесселя:

. (11)

Интегралы этого уравнения называются цилиндрическими функциями или функциями Бесселя.

Перейдем теперь к рассмотрению методов определения решения уравнения (11).

Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя. Запишем уравнение Бесселя в виде:

(12)

и будем искать его решение в форме ряда:

. (13)

Первая и вторая производные этого ряда запишутся так:

, (13а)

. (13б)

Умножим (13) на и (13а) - на и полученные выражения вместе с (13б) подставим в (12):

Произведя сокращение на и упрощения в квадратных скобках, преобразуем это тождественное равенство следующим образом:

Ряд слева начинается с , а ряд справа - с x в нулевой степени. Отсюда следует, что коэффициенты перед и равны нулю:

(14)

(14а)

Что касается коэффициентов при более высоких степенях x, то они должны удовлетворять рекуррентному равенству:

, (15)

где k = 2, 3,.... Из (14) вытекает, что и . Положим сначала, что , тогда согласно (15)

, (15а)

где k = 2, 3,.... Поскольку , то и все последующие нечетные коэффициенты , , ,... также равны нулю. Что касается четных коэффициентов, то их легко выразить через a по формуле (15а):

..................................

(16)

Подставляя (16) в (13), получаем частное решение уравнения Бесселя (12):

(17)

Ряд (17) сходится при любых значения x. Характеризуемая им функция называется бесселевой функцией первого рода порядка n.

Бесселевы функции первого рода хорошо изучены, для них составлены таблицы. Для больших x кривая приблизительно представляет собой затухающую косинусоиду. На рисунке 7 приведен график бесселевой функции нулевого порядка.

Рис. 7

Функция Бесселя первого рода является одним частным решением уравнения (12). Чтобы написать его общее решение, нужно знать второе линейно-независимое частное решение . В теории бесселевых функций показывается, что в том случае, когда параметр n является не целым числом, это второе частное решение можно получить, положив :

(18)

Это тоже бесселева функция первого рода, но отрицательного порядка, ее график подобен затухающей косинусоиде. В случае нецелочисленности n общий интеграл уравнения Бесселя имеет вид:

. (19)

Однако, если n есть целое число (n = n), то функция отличается от только постоянным множителем (-1). Иными словами, и линейно зависимы и из них общий интеграл нельзя составить. В этом случае в качестве второго независимого частного решения выбирают функцию Бесселя второго рода , которую еще называют функцией Неймана. Наиболее существенное свойство функции Неймана состоит в том, что при функция Неймана любого порядка стремится к бесконечности (рис. 7).