Решение задачи Дирихле при помощи функции Грина

Пусть требуется найти функцию u, удовлетворяющую уравнению и граничному условию , где P – точки поверхности S.

Для всякой функции u, непрерывной вместе с первыми производными в замкнутой области T, ограниченной достаточно гладкой поверхностью S и имеющей вторые производные внутри T, имеет место интегральное представление:

. (1)

Если функция u (M) гармоническая, то объемный интеграл равен нулю, если же u (M) удовлетворяет уравнению Пуассона, то объемный интеграл является известной функцией.

Пусть v (M) – некоторая гармоническая функция, непрерывная в вместе с первыми производными, не имеющая нигде особенностей. Вторая формула Грина

дает:

. (2)

Складывая (1) и (2), получаем

, (3)

где

- функция двух точек: и . Точка фиксирована, поэтому x, y, z играют роль параметров.

Формула (3) содержит и . Между тем, при решении первой краевой задачи задается лишь , а при решении второй краевой задачи – значение . Функция v выбирается таким образом, чтобы для первой краевой задачи (для второй краевой задачи). Определим функцию при помощи условий:

1. как функция точки при фиксированной точке удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках P области T, кроме точки P = M.

2. при совпадении аргументов (P = M) обращается в бесконечность.

3. на границе S обращается в нуль, то есть, = 0, если . Этому условию можно удовлетворить, потребовав, чтобы

Функцию определенную таким образом, будем называть функцией точечного источника(функцией Грина) первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Формула (3) дает:

Это и есть решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с помощью функции Грина.

Подведем итог: Функция G определяется при помощи функции v, являющейся решением первой краевой задачи для уравнения с граничными условиями .

Функция Грина (источника) для случая двух измерений, очевидно, будет определяться условиями:

1. всюду в рассматриваемой области S, кроме точки .

2. В точке функция G имеет особенность вида

3. , где C – граница области S. Функция Грина (источника) в этом случае имеет вид

где v – всюду непрерывная гармоническая функция, удовлетворяющая на границе условию

Решение первой краевой задачи для , при этом, дается формулой

Функция Грина для сферы (шара)

Пусть дана сфера радиуса R с центром в точке O и - заданные предельные значения гармонической функции на поверхности сферы, причем - переменная точка этой поверхности. Мы предполагаем, что - непрерывная на поверхности сферы функция.

Рассмотрим определенную точку внутри сферы и обозначим через r расстояние от до (рис. 10.).

Наряду с точкой рассмотрим точку лежащую на продолжении радиуса сферы и такую, что

или (1)

Точка , лежащая вне сферы, называется сопряженной с точкой .

M₁

r₁

M₀

r r

O M^’ (n)

Рис. 10

Обозначим через расстояние от точки M до . Если M находится на поверхности сферы в некоторой точке , то величины r и связаны зависимостью. Треугольники и подобны, так как имеют общий угол при вершине O и стороны образующие эти углы пропорциональны в силу (1)

или

отсюда следует

или , (2)

где - есть длина . Так как , то можно записать

Рассмотрим функцию . Эта функция гармоническая всюду кроме точки . В частности она гармоническая внутри шара, и на сфере принимает то же значение, что и функция . Отсюда следует, что функцию Грина можно записать следующим образом:

, (3)

так как это – гармоническая функция, имеющая в особенность и обращающаяся в нуль на сфере.

Найдем нормальную производную от этой функции на поверхности шара

, (4)

где n –внешняя нормаль,

Для того чтобы определить воспользуемся теоремой косинусов:

и , (5)

. (6)

Учитывая формулы (5) и (6) для нормальной производной функции Грина получим:

Таким образом,

, (7)

подставляя это выражение в решение задачи Дирихле, получим

(8)

Это есть решение задачи Дирихле для шара (для сферы).

Введем сферическую систему координат с началом в центре сферы. Пусть - координаты точки P, а - координаты точки , g - угол между радиус-векторами и , P – точка на сфере.