2014-02-10
1469
Функция Грина (источника) для круга может быть получена таким же способом, как и функция для сферы. В этом случае функцию следует искать в виде
.
Повторяя рассуждения предыдущего пункта, мы найдем функцию G в виде:
,
где 
, 
, 
, 
- радиус круга (рис. 11). Нетрудно убедиться в том, что определенная таким образом гармоническая функция обращается в нуль на границе 
.
P r 1 M1
 |
r
R r1
M0
r
O
Рис. 11
Для решения первой краевой задачи надо вычислить значения 
на окружности C. Вычисления проходят аналогично случаю сферы и дают:
.
Пусть 
- полярные координаты точки P, лежащей на окружности, а (
- координаты точки 
, тогда
.
Подставляя в формулу
это выражение для 
и принимая во внимание, что
и 
,
приходим для функции 
к выражению
,
называемому интегралом Пуассона для круга.
