double arrow

Волновое уравнение в вакууме

1

Для описания распространения света в вакууме полагаем:

, ,.

Система уравнений Максвелла в этом случае приобретает вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

Найдем ,

с учетом уравнения (2) получим

Используем соотношение и с учетом уравнения (3) получим волновое уравнение для :

Аналогичное уравнение получается и для , для этого необходимо найти из уравнения (2)

Так как вектора и можно разложить по компонентам

,

то волновое уравнение для компонент примет вид

и

.

Иногда в этом случае говорят о скалярной волне. Рассмотрим скалярные волны, для этого вместо компонент векторов и введена функция

Решение волнового уравнения имеет в вид плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, волновой фронт которой представляет собой плоскость перпендикулярную направлению распространения:

Волновое уравнение для данной функции:

Решение определяется функцией вида , это две бегущие волны, распространяющиеся в различных направлениях, в скобках записаны аргументы функций. Решение такого вида сохранят вид волны: это основное требование к волнам в вакууме. Проверим данное предположение. Найдем вид функции , которая описывает волну бегущую «вперед» в момент времени , учтем, что волновой фронт перемещается на расстояние , тогда

.

Аналогичные рассуждения для функции , которая описывает волну, бегущую «назад» дают равенство

.

Решение выражает фундаментальный факт конечности скорости распространения электромагнитной волны.

Волна приходит в точку с координатой , через .

Обратите внимание, что в последующих курсах электродинамики все решения подобного вида носят название запаздывающих.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


1

Сейчас читают про: