Для описания распространения света в вакууме полагаем:
, ,.
Система уравнений Максвелла в этом случае приобретает вид:
(1)
(2)
(3)
(4)
Найдем ,
с учетом уравнения (2) получим
Используем соотношение и с учетом уравнения (3) получим волновое уравнение для :
Аналогичное уравнение получается и для , для этого необходимо найти из уравнения (2)
Так как вектора и можно разложить по компонентам
,
то волновое уравнение для компонент примет вид
и
.
Иногда в этом случае говорят о скалярной волне. Рассмотрим скалярные волны, для этого вместо компонент векторов и введена функция
Решение волнового уравнения имеет в вид плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, волновой фронт которой представляет собой плоскость перпендикулярную направлению распространения:
Волновое уравнение для данной функции:
Решение определяется функцией вида , это две бегущие волны, распространяющиеся в различных направлениях, в скобках записаны аргументы функций. Решение такого вида сохранят вид волны: это основное требование к волнам в вакууме. Проверим данное предположение. Найдем вид функции , которая описывает волну бегущую «вперед» в момент времени , учтем, что волновой фронт перемещается на расстояние , тогда
|
|
.
Аналогичные рассуждения для функции , которая описывает волну, бегущую «назад» дают равенство
.
Решение выражает фундаментальный факт конечности скорости распространения электромагнитной волны.
Волна приходит в точку с координатой , через .
Обратите внимание, что в последующих курсах электродинамики все решения подобного вида носят название запаздывающих.