Решение. 1) Так как балансовая прибыль зависит от объема реализованной продукции, то в качестве факторного признака (x) будет выступать объем реализованной продукции

1) Так как балансовая прибыль зависит от объема реализованной продукции, то в качестве факторного признака (x) будет выступать объем реализованной продукции, а в качестве результативного (y) – балансовая прибыль.

Уравнение линейной регрессии найдем по формуле:

Рассчитаем необходимые суммы в таблице 8.2.

Таблица 8.2

	x	y
		1,2	537,397	6,205
		1,8	330,579	3,576
			84,306	2,859
		2,5	173,760	1,418
			51,579	0,477
		3,2	38,215	0,241	118,4
		3,5	10,124	0,036
		4,9	7,942	1,462	225,4
			219,579	1,714
		6,2	666,579	6,296	427,8
		7,3	1355,579	13,026
Итого:		40,6	3475,636	37,309	2105,6

Тогда (млн. руб.);

(млн. руб.);

;

; (млн. руб.);

;

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

или .

2а) Линейный коэффициент корреляции между переменными x и y равен , что свидетельствует о прямой весьма высокой связи между этими признаками, т.е. между объемом реализованной продукции и балансовой прибылью предприятия.

2б) Найдем коэффициент корреляции знаков Фехнера.

В таблице 8.3 запишем знаки отклонений индивидуальных величин от средней.

Таблица 8.3

x	y	Знак	Знак	«с» - совпадение знаков «н» - несовпадение знаков
	1,2 1,8 2,0 2,5 3,0 3,2 3,5 4,9 5,0 6,2 7,3	─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ + + + +	─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ + + + +	с с с с с с с с с с с

Итак, число совпадений знаков отклонений и число несовпадений знаков отклонений . Тогда . Следовательно, между изучаемыми признаками существует прямая тесная корреляционная связь.

2в) Найдем коэффициент корреляции рангов Кендалла.

В таблице 8.4 запишем ранги переменных x и y.

Таблица 8.4

x	y	Ранг x	Ранг y
	1,2 1,8 2,0 2,5 3,0 3,2 3,5 4,9 5,0 6,2 7,3

Упорядочим все единицы по признаку x (см. табл. 8.5)

Таблица 8.5

x	y	Ранг x	Ранг y
	1,2 1,8 2,5 2,0 3,0 3,2 3,5 4,9 5,0 6,2 7,3

По признаку y подсчитаем суммы P и Q:

P= 10+9+7+7+6+5+4+3+2+1+0=54, Q= 0+0+1+0+0+0+0+0+0+0+0=1.

Тогда . Следовательно, между изучаемыми признаками существует прямая тесная корреляционная связь.

2г) Найдем коэффициент корреляции рангов Спирмена.

Рассчитаем в таблице квадраты разностей между рангами переменных x и y (см. табл. 8.6).

Таблица 8.6

x	y	Ранг x	Ранг y	(Ранг x – Ранг y)
	1,2 1,8 2,5 2,0 3,0 3,2 3,5 4,9 5,0 6,2 7,3
			Итого:

Тогда . Следовательно, между изучаемыми признаками существует прямая тесная корреляционная связь.

3) Коэффициент детерминации найдем по формуле:

необходимые суммы рассчитаны в таблицах 8.7 и 8.2.

Таблица 8.7


	1,340	5,525	0,020
	1,847	3,399	0,002
	2,354	1,786	0,021
	2,760	0,867	0,577
	2,963	0,530	0,001
	3,064	0,393	0,018
	3,368	0,104	0,017
	3,977	0,082	0,853
	5,193	2,258	0,037
	6,309	6,853	0,012
	7,424	13,937	0,015
Итого:	40,6	35,734	1,575

следовательно, модель объясняет зависимость между переменными на 95,78 %.

4а) При уровне значимости проверим гипотезу о значимости линейного коэффициента корреляции.

1. Наблюдаемое значение критерия

2. Критическая точка .

3. Т.к. (14,2895>2,26), то отклоняем нулевую гипотезу об отсутствии связи между показателями x и y. Т.е. полученное значение r считается значимым, и принимаем гипотезу о наличии статистической связи между показателями.

4б) При уровне значимости проверим гипотезу о значимости простой линейной регрессии.

1. Наблюдаемое значение критерия

2. Критическая точка .

3. Т.к. (204,1897>5,12), то отклоняем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента детерминации. Т.е. принимаем конкурирующую гипотезу о значимости линейной регрессии между показателями x и y.

4в) При уровне значимости проверим гипотезы о значимости параметров регрессии.

Для коэффициента регрессии b:

1. Наблюдаемое значение критерия

где (необходимые суммы найдены в таблицах 8.2 и 8.7);

2. Критическая точка .

3. Т.к. (14,2895>2,26), то отклоняем нулевую гипотезу о незначимости коэффициента регрессии, т.е. коэффициент регрессии не равен нулю.

Для параметра a:

1. Наблюдаемое значение критерия

где (необходимые суммы найдены в таблицах 8.2 и 8.7);

2. Критическая точка .

3. Т.к. (|-2,075|<2,26), то принимаем нулевую гипотезу о незначимости параметра a, т.е. параметра a почти не отличается от нуля или равен нулю, и он может не использоваться в модели. Однако наличие свободного члена в линейном уравнении может лишь уточнить вид зависимости. Поэтому, если нет серьезных причин для удаления свободного члена из уравнения регрессии, то лучше его использовать в модели.

5) Точечный прогноз балансовой прибыли при объеме реализации, равном 75 млн. руб. найдем по построенной модели:

(млн. руб.)

Доверительный интервалдля прогнозного значения млн. руб. будет иметь вид:

где

стандартная ошибка регрессии .

Т.к. , то доверительный интервал будет иметь вид:

или .

Таким образом, при уровне значимости при объеме реализации, равном 75 млн. руб. балансовая прибыль предприятия ожидается в пределах от 5,8057 млн. руб. до 8,0287 млн. руб.

Если связь между признаками выражается какой-либо кривой линией, то нужно применить соответствующую формулу для расчета уравнения регрессии. Так, например, при связи, выраженной в форме гиперболы, уравнение регрессии имеет вид: