Лекция 15. Пересечение кривой второго порядка с прямой

Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления, центры, и касательные кривой второго порядка. Диаметры кривой второго порядка.

Литература. § 23, 24.

Под кривой второго порядка понимается множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат являются решениями алгебраического уравнения второго порядка с двумя неизвестными:

, (19.1)

где коэффициенты не равны нулю одновременно. Было также показано, что порядок уравнения алгебраической кривой не зависит от выбора системы координат.

Пусть даны кривая второго порядка g своим общим уравнением (19.1) и прямая l, проходящая через точку и параллельная вектору требуется найти их точки пересечения. Рассмотрим параметрические уравнения прямой:. Заменим значения х и у в уравнении g на их выражения через параметр t, а затем решим полученное уравнение относительно t. Найденные корни будут параметрами точек пересечения g и l.

После преобразований получим:

, (19.2)

, (19.3)

, (19.4)

. (19.5)

Если P ¹ 0, то (19.2) представляет собой квадратное уравнение, у которого либо два действительных, либо один, либо два комплексно сопряженных корня. Поэтому g и l либо имеют две общие точки, либо одну или, как говорят, две совпавшие вещественные точки, либо ни одной вещественной, но, как принято говорить, две так называемые комплексно сопряженные точки. Если, то уравнение (19.2) ‑ линейное, оно имеет один вещественный корень. В этом случае прямая и кривая обладают единственной общей точкой. Ясно, что этот случай, по сути, отличается от предыдущего случая двух совпавших вещественных точек. Если, а R ¹ 0, то уравнение (19.2) не имеет корней, а g и l - общих точек. И, наконец, если Р = Q = R = 0, то любое значение t - корень уравнения, а прямая l всеми точками принадлежит g.

Из формулы (19.3) следует, что коэффициент Р уравнения (19.2) не зависит от координат начальной точки прямой. Он является однородным многочленом второго порядка от координат a и b направляющего вектора прямой. Поэтому, если координаты некоторого вектора обращают коэффициент Р в нуль, то он также равен нулю, при подстановке в (19.3) координат a и b любого вектора, коллинеарного.

Определение 1. Прямая l называется прямой асимптотического направления кривой g, если координаты любого ее направляющего вектора обращают коэффициент Р уравнения (19.2) в нуль.

Из введенного определения не следует, что координаты направляющего вектора прямой обращая в нуль коэффициент Р в некоторой системе координат, будут также обладать этим свойством в любой другой системе координат. Но, как было показано выше, прямая имеет асимптотическое направление в том и только в том случае, когда либо не имеет с кривой второго порядка g общих точек, либо имеет только одну такую точку, либо целиком ей принадлежит g. Поэтому свойство прямой иметь асимптотическое направление имеет геометрический характер. Оно не зависит от выбора системы координат.

Определение 2. Любой направляющий вектор прямой асимптотического направления будем называть вектором асимптотического направления, а класс таких коллинеарных между собой векторов ‑ асимптотическим направлением.

Из определений 1 и 2, а также из формулы (19.3) следует, что вектор тогда и только тогда имеет асимптотическое направление, когда он отличен от нулевого и

. (19.6)

Мы получили однородное уравнение второго порядка с неизвестными a и b. Если мы нашли какое-либо его ненулевое решение, то все пары чисел, где, также служат решениями (19.6). Поэтому вектор определяет асимптотическое направление прямой. Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь кривая второго порядка. Для этого найдем число не пропорциональных между собой решений (19.6).

1). Тогда и уравнение (19.6) преобразуется к виду:. Имеем два не пропорциональных между собой решения: (1; 0) и (0; 1), все решения имеют вид: (t; 0) и (0; t), где t - любое действительное число, отличное от нуля. Кривая имеет два асимптотических направления.

2). Тогда пара чисел (t; 0), где t ¹ 0, не является решением уравнения (19.6). Действительно, если подставить эти числа в уравнение, то получим противоречивое равенство:. В рассматриваемом случае для любого решения уравнения (19.6) b ¹ 0. Разделив это уравнение на b, мы не потеряем его решений. Обозначим, тогда:

. (19.7)

Мы получили квадратное уравнение относительно l. Его дискриминант D равен:. Обозначим через D определитель:

. (19.8)

Легко видеть, что. Таким образом, если D < 0, то уравнение (19.7) имеет два решения, а кривая g ‑ два асимптотических направления. Если D = 0, то такое направление одно, а в случае D > 0 кривая не имеет асимптотических направлений.

3), но для отыскания асимптотических направлений уравнение (19.6) следует делить на. Аналогично рассуждая, придем к тому же результату: если D < 0 кривая имеет два асимптотических направления, если, то это направление одно, если D > 0, то таких направлений у кривой нет. В первом случае, когда кривая имела два асимптотических направления, выполнено неравенство:.

Число асимптотических направлений кривой зависит от знака числа D. Покажем, что знак и условие равенства нулю этого числа не зависит от выбора аффинной системы координат. Воспользуемся формулами перехода от одной аффинной системы координат к другой:

(19.9)

где

(19.10)

Для определения коэффициентов уравнения кривой в новой системе координат следует в общем уравнение (19.1) кривой второго порядка заменить неизвестные на их выражения через по формулам (19.9). В новой системе координат уравнение кривой примет вид:

при этом:

Отсюда, после соответствующих вычислений получим:

(19.11)

(все вычисления проведите самостоятельно). Равенство нулю определителя D и его знак не зависят от выбора аффинной системы координат на плоскости. Полученный результат можно было предвидеть, так как количество асимптотических направлений является геометрическим свойством кривой второго порядка и оно одинаково в любой системе координат. Доказана теорема:

Теорема 1. Кривая второго порядка в том и только в том случае имеет два асимптотических направления, когда в некоторой аффинной системе координат определитель (19.8) отрицателен. Такое направление одно, если этот определитель равен нулю. Кривая не имеет асимптотических направлений, если этот определитель положителен.

Будем считать, что уравнение кривой мы рассматриваем в прямоугольной декартовой системе координат. Формулы (19.9) перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой имеют вид (9.5)

где в зависимости от ориентаций ортонормированных базисов этих систем (см. § 9). В этом случае из равенства (19.11) получим:

.

Таким образом, при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой значение определителя D не меняется. Определитель D носит название первого инварианта кривой второго порядка.

Нетрудно определить, что для эллипса первый инвариант D положителен. Для этого достаточно найти этот инвариант в случае канонического уравнения эллипса. Кривые, для которых первый инвариант положителен, называются кривыми эллиптического типа. Такие кривые не имеют асимптотических направлений.

Рассмотрим гиперболу, заданную своим каноническим уравнением:. Тогда инвариант D имеет вид:. Так как D < 0, то гипербола имеет два асимптотических направления. В этом случае уравнение (19.7) принимает вид:. Его корни равны:. Поэтому векторы асимптотических направлений имеют следующие координаты: и, где t - любое действительное число, отличное от нуля. Эти направления параллельны асимптотам гиперболы (см. § 17). Кривые, для которых первый инвариант отрицателен, называются кривыми гиперболического типа. Такие кривые имеют два асимптотических направления.

Рассмотрим ее каноническое уравнение параболы: и вычислим для нее первый инвариант:. Таким образом, парабола имеет одно асимптотическое направление. Для его нахождения составим уравнение (19.7):. Координаты векторов асимптотического направления параболы равны: { t; 0}, где t ‑ любое действительное число, отличное от нуля. Эти векторы параллельны оси параболы. Кривые, для которых первый инвариант равен нулю, называются кривыми параболического типа. Такие кривые имеют одно асимптотическое направление.

Под центром кривой будем понимать ее центр симметрии. Найдем способ определения ее центра по общему уравнению. Докажем лемму.

Лемма. Пусть прямая задана своими параметрическими уравнениями: точкам и соответствуют параметры и. Тогда начальная точка в том и только в том случае совпадает с серединой отрезка, когда.

Доказательство. Пусть координаты данных точек и равны:. Тогда

(19.12)

Точка в том и только в том случае является серединой отрезка, когда, Подставим сюда соотношения (19.12):,. Полученные равенства равносильны условию. Утверждение доказано.

Теорема 2. Пусть кривая g второго порядка задана общим уравнением

.

Тогда точка в том и только в том случае служит центром симметрии g, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений:

(19.13)

Доказательство. Пусть - центр симметрии кривой. Тогда любая прямая не асимптотического направления пересекает эту кривую в двух точках и, которые симметричны относительно. Если - параметрическое уравнение этой прямой, а и параметры точек и, то, согласно доказанной лемме,. С другой стороны и - корни квадратного уравнения (19.2). Тогда по теореме Виета коэффициент Q этого уравнения также равен нулю. Из формулы (19.4) получим:, или. Найденное равенство выполняется для любых a и b. Поэтому оно справедливо только тогда, когда, u и v - решения системы (19.13).

Обратно. Рассмотрим произвольное решение u, v системы (19.13). Обозначим через l - прямую не асимптотического направления, проходящую через точку. Пусть ее параметрические уравнения, а и ‑ точки пересечения l с кривой. Тогда параметры и точек и являются решением квадратного уравнения (19.2). Из формул (19.4) и (19.13) следует, что второй коэффициент Q этого уравнения равен нулю. По теореме Виета. Поэтому согласно лемме 1, точка - середина отрезка. Так как наши рассуждения справедливы для любой прямой асимптотического направления, то - центр симметрии кривой g.

Следствие. Если центр кривой совпадает с началом координат, то, и ее общее уравнение имеет вид:

Как легко видеть, определитель системы (19.13) совпадает с первым инвариантом D кривой. Поэтому кривые эллиптического и гиперболического типов имеют единственный центр симметрии. Они носят название центральных кривых второго порядка. Для кривых параболического типа D = 0. Эти кривые либо не имеют центров симметрии, либо имеют их бесконечно много. Такие кривые называются нецентральными.

Определение 3. Точка кривой второго порядка называется обыкновенной, если она не совпадает с ее центром симметрии. В противном случае она носит название особой.

Легко видеть, что эллипс, гипербола и парабола состоят из обыкновенных точек. Как известно из курса математического анализа, под касательной к кривой в точке понимается предельное положение секущей, при условии, что точка М кривой стремится к. Поэтому касательная представляет собой прямую, которая пересекает кривую в двух совпавших точках и имеет не асимптотическое направление. Касательные к кривой будем рассматривать только в ее обыкновенных точках.

Теорема 3. Если - обыкновенная точка кривой второго порядка, заданной своим общим уравнением, то уравнение касательной в этой точке имеет вид:

(19.14)

Доказательство. Касательная пересекает кривую в двух совпавших точках. Обозначим через a и b координаты ее направляющего вектора. Если уравнение прямой имеет параметрический вид: то параметры точек пересечения определяются как решения уравнения (19.2). Так как это уравнение имеет единственный корень, то его дискриминант равен нулю. Таким образом,. По условию точка принадлежит кривой. Поэтому из формулы (19.5) следует, что. Итак, прямая l тогда и только тогда является касательной к кривой в ее точке, когда координаты и и координаты направляющего вектора a и b удовлетворяют условию, или, как следует из (19.4):

.(19.15)

Пусть ‑ произвольная точка касательной. Тогда вектор коллинеарен ее направляющему вектору, поэтому. Отсюда вытекает:. Преобразуем полученное выражение:

точка принадлежит кривой, поэтому:. Таким образом, уравнение касательной примет вид:, т.е. (19.14). Полученное уравнение является уравнением прямой, так как коэффициенты при х и у отличны от нуля, в силу того, что точка ‑ обыкновенная. Теорема доказана.

Найдем уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Пусть - точка эллипса, определенного своим каноническим уравнением:. Для этого уравнения Из (19.14) получим:. Аналогично доказывается, что уравнение касательной в точке гиперболы, заданной своим каноническим уравнением, можно представить как. В случае параболы уравнение такой же касательной имеет с вид:

. (19.16)

Касательные к кривым второго порядка обладают интересными геометрическими свойствами. Одно из них ‑ оптическое свойство. Если - точка параболы, F - ее фокус, то что касательная к параболе в точке образует равные углы как с прямой, так и с прямой, проходящей через и параллельной оси параболы. Оптическое свойство параболы широко используется при изготовлении осветительных приборов (прожекторов, фар автомобиля и т.д.). Например, если источник света поместить в фокусе эллиптического зеркала, то отраженные лучи будут проходить через второй его фокус.

Любая прямая не асимптотического направления пересекает кривую второго порядка либо в двух различных действительных, либо в двух совпавших, либо в двух комплексно сопряженных точках. Отрезок прямой, заключенный между этими точками будем называть ее хордой. Множество середин всех хорд, параллельных между собой, образуют прямую линию.

Пусть даны кривая второго порядка g, заданная своим общим уравнением (см. (19.1)) и пучок параллельных между собой прямых, имеющих не асимптотическое направление. Требуется найти множество середин хорд, отсекаемых этими прямыми от кривой. Заметим, если точки и пересечения g и прямой имеют комплексно сопряженные координаты и, то координаты:, середины хорды являются действительными числами. Рассмотрим произвольную прямую l данного пучка. Обозначим через a и b координаты ее направляющего вектора. Все прямые пучка параллельны между собой, поэтому вектор является направляющим для любой прямой пучка. Пусть и - точки пересечения g и l, а ‑ середина хорды (рис.79). Примем точку М в качестве начальной и составим параметрические уравнения прямой l. Пусть и - параметры точек и, тогда Согласно лемме, точка М в том и только в том случае совпадает с серединой отрезка, когда. Но и - корни уравнения (19.2) (см. §19). Из теоремы Виета для корней квадратного уравнения следует, что точка M тогда и только тогда будет серединой хорды, когда ее координаты обращают в нуль коэффициент Q этого уравнения. Поэтому из формулы (19.4) получим:

,

или

. (20.1)

Коэффициенты и не равны одновременно нулю. Если, то, т.е.. Мы получили, что вектор имеет асимптотическое направление, чего нет по условию. Таким образом, уравнение (20.1) представляет собой уравнение прямой. Доказана следующая теорема.

Теорема 4. Множество середин всех хорд кривой второго порядка, параллельных между собой и имеющих не асимптотическое направление, образуют прямую линию.

Определение 4. Прямая, содержащая середины всех хорд кривой второго порядка, параллельных между собой и имеющих не асимптотическое направление, называется диаметром, сопряженным этому направлению.

Если направление определено вектором, то уравнение сопряженного ему диаметра d имеет вид (20.1). При этом также говорят, что диаметр d сопряжен вектору. Все диаметры центральной кривой второго порядка проходят через ее центр.

Нас будет интересовать, в каком случае диаметр кривой имеет асимптотическое направление и как связаны между собой его направляющий вектор и вектор, ему сопряженный.

Теорема 5. Диаметр d кривой второго порядка в том и только в том случае имеет асимптотическое направление, когда кривая принадлежит параболическому типу. При этом все ее диаметры параллельны между собой.

Доказательство. Так как уравнение диаметра d, сопряженного направлению вектора, имеет вид (20.1), то координаты направляющего вектора этой прямой равны:. Проведем следующие преобразования:

где - первый инвариант кривой (см. (19.8)). Отсюда следует, что вектор имеет асимптотическое направление в том и только в том случае, когда. Но направление вектора не является асимптотическим,. Поэтому для того, чтобы диаметр d имел асимптотическое направление необходимо и достаточно, чтобы, т.е. кривая принадлежала параболическому типу. Кривая параболического типа имеет единственное асимптотическое направление. Отсюда следует, что все ее диаметры параллельны между собой. Теорема доказана.

На рисунке 81 изображены парабола, две прямые из пучка параллельных прямых и сопряженный с ними диаметры. Этот диаметр параллелен оси параболы и имеет асимптотическое направление. Рассмотрим теперь произвольную кривую g непараболического типа.

Теорема 5 (теорема о сопряженных диаметрах). Пусть g ‑ кривая эллиптического или гиперболического типов. Обозначим через диаметр, сопряженный не асимптотическому направлению вектора, через ‑ направляющий вектор, а через - диаметр, сопряженный направлению вектора. Тогда вектор параллелен.

Доказательство. Пусть вектор имеет координаты и. Тогда координаты вектора, направляющего для диаметра, равны: (см. (20.1)). Обозначим через направляющий вектор диаметра, сопряженного с вектором. Вычислим координаты и вектора и покажем, что они пропорциональны и. Если и - координаты, то

,

.

Кривая имеет непараболический тип, следовательно D ¹ 0. Векторы и коллинеарны. Теорема доказана.

Векторы и, один из которых параллелен диаметру, сопряженному направлению второго вектора, называются сопряженными, относительно кривой. Также называются диаметры и направления, определенные сопряженными векторами. На рисунке 81 изображены сопряженные векторы и, и сопряженные диаметры и. В школьном курсе геометрии доказывается, что векторы, сопряженные относительно окружности, перпендикулярны между собой.

Выведем условие сопряженности векторов в координатах. Обозначим через и координаты вектора. Тогда уравнение диаметра d, сопряженного направлению вектора, имеет вид (20.1): Поэтому вектор параллелен прямой d в том и только в том случае, когда

.

Полученное равенство преобразуем к виду:

, (20.2)

которое представляет собой искомое условие, наложенное на координаты сопряженных относительно кривой векторов.