III. Структурные средние

Мода и медиана – вспомогательные описательные характеристики распределения варьирующего признака, которые называются структурными средними.

Модой в статистике называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

Моду используют только в совокупностях большой численности.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности.

1. Мода в вариационном дискретном ряду.

Пример 6. Распределение семей по числу детей.

I случай	II случай	III случай
Группы семей по числу детей	Число семей	Группы семей по числу детей	Число семей	Группы семей по числу детей	Число семей
х	f	х	f	х	f

I случай – Мода = 2

II случай - Моды нет (варианты 2, 4, 5, 6 встречаются одинаково часто).

III случай - Моды две . Две варианты имеют одинаковые частоты. В этом случае распределение называется бимодальным. Бимодальное распределение указывает на качественную неоднородность совокупности по исследуемому признаку.

2. Медиана в дискретном вариационном ряду

Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряду, нужно сумму частот разделить пополам и полученному результату добавить . Таким образом, мы находим медианную частоту, т.е.:

101-ая частота, варианта которой делит упорядоченный ряд пополам.

Чтобы найти значение варианты, соответствующей 101-ой частоте, нужно накапливать частоты от наименьших вариант, т.е. найти кумулятивные частоты.

Пример 6. Распределение семей по числу детей

(I случай)

Группы семей по числу детей	Число семей	Кумулятивная частота
х	F	S
		10+30=40 40+75=115 115+45=160 160+20=180 180+15=195 195+6=201
Итого

Наиболее подходит кумулятивная частота , т.к. она должна быть равна или больше 101. Данная частота соответствует третьему значению варьирующего признака. Медианой будет семья, имеющая 2-их детей.

3 .Мода в интервальном вариационном ряду

В интервальном вариационном ряду для нахождения приближенного значения моды в пределах определенного интервала прибегают к расчетам.

Пример 7. Распределение рабочих по заработной плате:

Группы рабочих по за- работной плате, руб.	Число рабочих
Х	f
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
Итого

Чтобы найти моду, необходимо определить модальный интервал данного ряда. Наибольшая частота , что соответствует модальному интервалу от 100 до 110.

Для расчета модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют формулу:

где - минимальная граница модального интервала (100);

- величина модального интервала (10);

- частота интервала, предшествующего модальному (60);

- частота модального интервала (145);

- частота интервала, следующего за модальным (110).

Для примера:

Таким образом, большая часть рабочих имеет данную заработную плату 107 руб. 08 коп.

4. Расчет медианы в интервальном вариационном ряду

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала интервал, в котором она находится, т.е. медианный интервал. Таким интервалом будет интервал, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Кумулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Пример 8. Распределение рабочих по заработной плате:

Группы рабочих по за- работной плате, руб.	Число рабочих	Кумулятивные частоты
х	f	S
70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140
Итого