Матрицы линейных преобразований

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…,задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a₁₁+ a₂₁+…+ a_n1

A= a₁₂+ a₂₂+…+ a_n2

……………………………….

A= a_n1+ a_n2+…+ a_nn

Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор = x₁+ x₂+…+ x_n, то AÎ L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А×,

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

С = В×А

Т.е.

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.