2014-02-12
789
Собственные значения и собственные векторы
Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор 
L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:
A
.
При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору 
.
Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе 
,
,…,
имеет матрицу А = 
, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, …,ln уравнения:
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = 
.
Запишем линейное преобразование в виде: 
Составим характеристическое уравнение:
l2 - 8l + 7 = 0;
Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;
Для корня l1 = 7: 
Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t - параметр.
Для корня l2 = 1: 
Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t - параметр.
Полученные собственные векторы можно записать в виде:
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = 
.
Составим характеристическое уравнение:
(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0
(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0
(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0
4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0
-l3 + 7l2 – 36 = 0
-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0
-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0
(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0
Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;
1) Для l1 = -2: 
Если принять х1 = 1, то 
Þ х2 = 0; x3 = -1;
Собственные векторы: 
2) Для l2 = 3: 
Если принять х1 = 1, то 
Þ х2 = -1; x3 = 1;
Собственные векторы: 
3) Для l3 = 6: 
Если принять х1 = 1, то 
Þ х2 = 2; x3 = 1;
Собственные векторы: 
