Поиск окончательного решения многокритериальной задачи о назначениях

Выявление предпочтений ЛПР; вспомогательная процедура

Рассмотренная выше основная процедура достаточна для сравнения КС о. Но при сравнении КС а возникает дополнитель­ная проблема.

Получение корректных результатов в процессе попарного сравнения альтернатив и выявления предпочтений ЛПР связа­но с известным предположением о независимости критериев по предпочтению. В большинстве реальных приложений это пред­положение выполняется в результате разумного выбора набора независимых критериев. Однако избежать завуалированных связей между критериями не всегда удается. Указанием на возможное присутствие таких связей может служить повышен­ная частота ошибок ЛПР при определении предпочтений, при­водящая к нетранзитивности результатов.

Для проверки условия независимости по предпочтению предлагается дополнительная процедура.

Сформулируем условие независимости при сравнении двух КС а по их ценности для ЛПР. Критериальные соответствия не­зависимы, если результат сравнения ценностей векторов с дву­мя ненулевыми значениями компонентов не зависит от одинаковых значений других компонентов, т. е. если не найдется какого-либо третьего КС а с при котором результат сравнения может быть иным.

Заметим, что данное условие, в отличие от общепринятого условия независимости по предпочтению, сформулировано от­носительно троек КС а. Обоснованием этого подхода служат ис­следования, показывающие, что зависимость критериев обычно проявляется как зависимость результатов сравнения оценок двух критериев от оценок по третьему критерию. Именно такая форма зависимости отмечалась в [10, 11 ]. Появление более сложной групповой зависимости неопределенно по своей приро­де и трудно обнаружимо. Этот факт позволяет утверждать, что если нет троек зависимых КС а, условие независимости при сравнении альтернатив не нарушается при любом количестве одинаковых компонентов вектора соответствия.

Чтобы проверить выполнение условия независимости, необ­ходимо получить дополнительную информацию от ЛПР. Когда выполняется дополнительная процедура, вопросы, задаваемые ЛПР (см. основную процедуру), повторяются при следующем дополнительном условии: «по третьему критерию требования объекта (субъекта) не удовлетворены: вместо оценки К nr имеет­ся худшая оценка K nt».

Дополнительные вопросы выбираются так, чтобы перебрать все возможные тройки критериев. Следовательно, количество до­полнительных вопросов равно числу сочетаний из N по три (C n 3).

Использование условия независимости в процедурах упоря­дочивания позволяет сократить количество вопросов к ЛПР.

Для иллюстрации процедур выявления предпочтений ЛПР обратимся к приведенному выше простому примеру. Основная процедура состоит в сравнении ценностей трех критериальных соответствий которые формируют следующие векторы со­ответствия:

• по критерию «Профессиональная подготовленность» — вектор 100 { C 1 – O 1 };

• по критерию «Умение руководить коллективом» — вектор 010 {С 2 – О 2 };

• по критерию «Практический опыт» — вектор 001 {С 3 – О 3 }.

• Типовой вопрос, на который отвечает ЛПР, выглядит так:

Что вы предпочитаете:

Альтернатива 1. Неудовлетворение требований объекта лишь по крите­рию «Профессиональная подготовленность» – вместо высокой предлага­ется удовлетворительная оценка профессиональной подготовленности субъекта.

Альтернатива 2. Неудовлетворение требований объекта лишь по крите­рию «Умение руководить коллективом» – вместо хорошего предлагается удовлетворительное умение субъекта руководить коллективом.

Выберите один из ответов:

Альтернатива 1 более предпочтительна.

Альтернатива 2 более предпочтительна.

Альтернативы равноценны.

В основной процедуре анализируются ответы на три подоб­ных вопроса. В дополнительной процедуре, применяемой при аб­солютных критериальных соответствиях, для рассматриваемого примера необходим дополнительный вопрос, который отличается от приведенного выше дополнительным условием: «Для обеих альтернатив по критерию «Практический опыт» у субъектов имеется низшая оценка – «Практический опыт отсутствует».

Если результаты сравнения, сделанного ЛПР, не зависят от КС а по третьему критерию, то делается вывод о выполнении ус­ловий независимости.

Заметим, что в рассматриваемом примере вторые компонен­ты критериальных соответствий для первых двух критериев могут принимать ненулевые значения лишь в единственном случае, когда требования выражаются оценкой р=1, а возможности – оценкой q =2. Для третьего критерия, шкала которого содержит три оценки, таких возможно­стей уже три, из которых лишь одна реализуется в рассматри­ваемом примере (р=2, q =3).

В зависимости от типа задачи либо может быть построена упорядоченная шкала всех оценок по данному критерию, либо могут быть упорядочены КС а, встречающиеся только в данной конкретной задаче. В общем случае для шкалы критерия с N оценками существует N (N – l)/2 возможностей, которые необ­ходимо проанализировать.

Обратимся к рассматриваемому примеру. Пусть ЛПР, ана­лизируя назначения {С 1 – О 1 }, {С 2 – О 2 }, {С 3 – О 3 } с векторами со­ответствия 100, 010 и 001, упорядочил ценности КС а следую­щим образом:

что для первой пары интерпретируется в виде: вектор соответ­ствия, у которого первый компонент равен 1 при оценке по шкале требований, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, предпочтительнее вектора, второй компонент которого при тех же требованиях равен 1, а остальные компоненты рав­ны нулю; а для второй пары – в виде: вектор соответствия, у которого второй компонент равен 1 при оценке по шкале требо­ваний, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, пред­почтительнее вектора, третий компонент которого равен 1 при оценке по шкале требований, равной 2, а остальные компонен­ты равны нулю.

При выполнении условия независимости, учитывая транзитивность эти ре­зультаты можно использовать для упорядочения ряда назначе­ний без обращения к ЛПР.

	C 1		C 2		C 3
O 1		?		?
	n	i i	n	i i	n
O 2		?		?
		i	n	i i	n
O 3				?

Рис. 4.1. Функция полезности для критерия
C 1 «Стоимость постройки аэропорта»

На основании такого рода отношений большинство назначе­ний могут быть упорядочены по качеству. Так, для приведенного выше примера можно построить граф, показанный на рис. 12.1.

В рассматриваемом примере формально остается невыяс­ненным лишь отношение между назначениями {С 2 – О 1 } и {С 3 – О 2 }, определение которого требует обращения к ЛПР. Од­нако и это отношение может быть получено, если будет выясне­но, что условие независимости выполняется. Тогда, поскольку и это отношение не может измениться от наличия одинакового КС а по второму критерию у сравниваемых векторов, имеем

т. е.

Аналогичные графы могут быть построены и в общем слу­чае. Назовем их графами частичного упорядочения векторов со­ответствия по их ценности для ЛПР. Графы частичного упоря­дочения векторов соответствия позволяют перейти к ранжиро­ванию этих векторов по ценности.

Выделим в графе все недоминируемые векторы и назовем их первым ядром. Среди векторов, оставшихся после удаления первого ядра, выделим второе ядро, состоящее из недомини­руемых векторов в редуцированном пространстве. Этот процесс повторяется до исчерпания графа [ 17 ]. Вектору, входящему в i - e ядро, присваивается i -й ранг, если над ним доминирует вектор из (i – l)-г o ядра, а он сам доминирует над вектором из (i + l)-г o ядра. Если вектор входит в i - e ядро и доминирует над вектором из (i + p)-г o ядра, то его ранг размыт и находится в пределах от (i +1) до (i + p –1).

Процедура ранжирования для рассматриваемого примера приводит к следующему результату:

Ядро	Список назначений	Ранг
	{C 1 – O 2 } {C 1 – O 3 } {C 2 – O 3 }
	{C 1 – O 1 }
	{C 2 – O 2 }
	{C 2 – O 1 } {C 3 – O 3 }
	{C 3 – O 2 }
	{C 3 – O 1 }

Получим для рассматриваемого примера табл. 12.5, отра­жающую упорядочение назначений по качеству (высшее каче­ство — идеальное назначение — имеет высший ранг, которому присвоено значение 0, при снижении качества уменьшается ранг назначения и соответственно увеличивается его номер, т. е. число, отображающее качество).

Таблица 12.5. Ранги назначений

	C 1	C 2	C 3
O 1
O 2
O 3

В результате выполнения основной и вспомогательной про­цедур выявления предпочтений назначения ранжируются по их ценности для ЛПР.

Выше была проиллюстрирована основная процедура выяв­ления предпочтений ЛПР для абсолютных критериальных от­клонений. Покажем, каким могло бы быть решение рассматри­ваемого примера при анализе относительных критериальных отклонений. Первый этап такого анализа прост и не требует участия ЛПР. Действительно, из анализа таблицы сходства (см. табл. 12.2) и учета свойств функции ценности следует упорядо­чение всех объектов по отношению к каждому из субъектов, и наоборот. Суммируя полученные при таком ранжировании ран­ги (высший ранг равен 0), получаем табл. 12.6.

Таблица 12.6. Ранги назначений при относительных соответствиях

	C 1	C 2	C 3
O 1
O 2
O 3

В соответствии с критерием оптимальности ЛПР утвержда­ет очевидное решение: [{ C 1 – O 2 } { C 2 – O 3 } { C 3 – O 1 }].

Как правило, количество вопросов к ЛПР при анализе от­носительных критериальных соответствий меньше, чем при анализе с использованием абсолютного индекса соответствия.

На предыдущем этапе получено упорядоченное по качеству множество назначений, представленное в виде таблицы, эле­ментами которой являются оценки качества назначений. Эта таблица служит исходной информацией для поиска оконча­тельного решения МЗН (см., например, табл. 12.5 и 12.6).

Напомним введенное ранее понятие ценности решения МЗН для ЛПР как функции совокупности назначений, формирую­щих решение МЗН: F ({ C i – O j }).

Далее предлагается несколько различных процедур поиска окончательного решения МЗН, выбор которых зависит от типа рассматриваемой задачи [12]. СППР лишь рекомендует воз­можные подходы для тех или иных типов задач. Однако выбор процедуры поиска решения остается за ЛПР – он может учи­тывать рекомендации системы, но волен поступать, исходя из своих реальных возможностей и потребностей. Любой из вы­бранных путей приведет к цели, но некоторые будут более бы­стрыми и потребуют меньших затрат. Эти соображения и по­зволяют рекомендовать следующие стратегии выбора процедур поиска решений МЗН.