Причины возникновения периодических несинусоидальных ЭДС, токов и напряжений. Представление функций рядом Фурье

НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО

Несовершенство источников энергии постоянной и несинусоидальной ЭДС, подключение линейных электрических цепей к источникам электрической энергии, в которых создаются ЭДС специальной формы (например, к генераторам с пилообразной или прямоугольной формой напряжения); наличие в электрических цепях разного рода нелинейных элементов (например, выпрямителей). Для анализа цепей, питаемых несинусоидальным напряжением, используют те же методы, что и для цепей синусоидального напряжения, при условии, что периодически изменяющаяся несинусоидальная функция напряжения представлена в виде ряда синусоидальных функций – ряда Фурье.

Так периодически изменяющаяся несинусоидальная функция F (t) записывается рядом Фурье следующим образом:

F (t) = A ₀ + A _1mахsin(ω t + ψ₁) + A _{2 mах} sin(2ω t + ψ₂) + A_{k mах} sin(k ω t +

+ ψ_k) + A _{n mах}sin(n ω t + ψ_n) = A ₀ +∑ A_{k mах}sin(ω t + ψ_k),

где A ₀ - и высших постоянная составляющая ряда Фурье; A _1mах, A _2mах, A_{k mах}, A _nmах – амплитуды первой гармоник; ω, 2ω, k ω, n ω – возрастающие частоты гармоник; ψ₁, ψ₂, ψ _k, ψ _n - начальные фазы гармоник.

Первая гармоника имеет период, равный периоду несинусоидальной величины, называется основной гармоникой.

Для определения амплитуд гармоник (например, ЭДС) целесообразно каждую из них представить в виде суммы двух гармоник, начальные фазы которых равны нулю:

Е_{k mах}sin(k ω t + ψ _k) = Е_{k mах}cos ψ _k sin k ω t + Е_{k mах}sinψ _k cos k ω t =

= В_k sin k ω t + С_{k mах}cos k ω t,

где В_k = Е_{k mах}cosψ _k, С_k = Е_{k mах}sinψ _k.

На рисунке изображены основная и третья гармоники ЭДС при условии, когда начальные фазы равны нулю

Графическое изображение первой и третьей гармоник ЭДС

при начальных фазах, равных нулю, и их суммы

Амплитуды гармонических составляющих (коэффициенты В_k и С_k) зависят от начальных фаз и поэтому изменяются при изменении начала отсчета времени.

е = Е ₀ + В ₁sinω t + В ₂sin2ω t + С ₁cosω t + С ₂ cos 2ωt + … = Е ₀ + ∑ В_k sin k ω t +

+ ∑ С_k cos k ω t

Здесь: Е ₀ = 1/ Т ∫_о е (t) dt;

В_k = 2/ Т ∫ е (t)sin k ω tdt;

С_k = 2/ Т ∫ е(t) cos k ω tdt,

где е (t)– аналитическое выражение для несинусоидальной ЭДС.

Зная амплитуду двух слагаемых k ‑ й гармоники, находят полную амплитуду этой гармоники и ее начальную фазу:

Е_{k mах} = ; ψ _k = arctg(С_k / В_k).

Из формулы видно, что постоянная составляющая ЭДС Е ₀ является средним значением периодической несинусоидальной ЭДС.

Аналогично представляют рядом Фурье и определяют амплитуды и начальные фазы гармоник несинусоидальных напряжений и токов.