Пересечение поверхности вращения плоскостью

При пересечении поверхности вращения плоскостью могут получиться следующие кривые:

а). Цилиндр вращения:

1. эллипс - когда секущая плоскость и оси вращения.
2. окружность - когда секущая плоскость оси вращения.
3. две прямые - когда секущая плоскость оси вращения.
4. прямая линия - когда секущая плоскость касательна к поверхности цилиндра.

б). Конус вращения:

Поверхность прямого кругового конуса является носителем кривых 2-го порядка: окружности, эллипса, параболы, гиперболы, которые поэтому также называются коническими сечениями.

Рис.1

- угол наклона образующей конуса к его оси.
- угол наклона между секущей плоскостью и той же осью.

1. эллипс - когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса (т.е. и ). >
2. окружность - когда секущая плоскость оси вращения. >^I, =90
3. парабола - когда секущая плоскость одной образующей конуса. =
4. гипербола - когда секущая плоскость оси вращения конуса или каким-либо двум образующим конуса. <
5. две пересекающиеся прямые, прямая или точка, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса.

Чтобы построить линию пересечения поверхности вращения плоскостью, необходимо:

1. Ввести ряд вспомогательных плоскостей.
2. Построить линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными плоскостью и поверхностью.
3. Определить точки взаимного пересечения построенных линий, которые принадлежат искомой линии пересечения.

Выбор вспомогательных плоскостей производится из следующих соображений:

1. Вспомогательные плоскости при пересечении с заданной поверхностью должны давать линии пересечения простого вида (прямая, окружность).
2. В результате применения вспомогательных плоскостей должны получаться точки, принадлежащие кривой сечения, наиболее характерные для этой кривой.

К характерным точкам кривой сечения относятся:

• высшая и низшая точки сечения;
• точки, разделяющие видимую и невидимую части сечения;
• точки, являющиеся концами большой и малой осей эллипса (в некоторых случаях эти точки могут совпадать).

4. Развёртка поверхностей вращения.

Дано: Прямой круговой конус, стоящий на плоскости проекций H, рассечён плоскостью общего положения P.

Нужно:

1. Построить линию сечения конуса плоскостью.
2. Определить видимость сечения и конуса на H и V.
3. Построить истинную величину сечения.
4. Построить развёртку нижней отсечённой части конуса.

Задача пересечения конуса плоскостью решается следующим образом:

1. Для удобства делим горизонтальную проекцию основания (окружность) на 8 частей.
2. Большая ось эллипса находится на прямой проходящей через вершину конуса и перпендикулярной горизонтальному следу секущей плоскости Р.
3. Разделив большую ось пополам можно найти центр эллипса сечения - O.
4. Если через точку O провести горизонтальную плоскость, то она пересекает заданный конус по окружности, а заданную плоскость P по горизонтали. В результате этого можно получить точки ограничивающие малую ось эллипса сечения.
5. Проводим фронтальную плоскость T через вершину конуса. Вспомогательная плоскость T пересекает конус по очерковым образующим S1 и S5, а заданную секущую плоскость по фронтали. В результате этого получаем точки a и d, принадлежащие кривой сечения и определяющие границу видимости этой кривой на фронтальной плоскости проекций.
6. Для построения промежуточных точек b, c, e, f находим точки пересечения соответсвующих образующих с секущей плоскостью.

Натуральную величину сечения определяем методом совмещения плоскости P с плоскостью H, для чего плоскость P вращаем вокруг её горизонтального следа.

Для построения развёртки:

1. Поверхность конуса мысленно режем по образующей S1.
2. Определяем угол кругового сектора =180*D/L
3. Зная угол кругового сектора, выполняем полную развёртку кругового сектора.
4. Длину окружности основания конуса делим на равные части (чем больше, тем лучше).
5. Дугу кругового сектора делим на такое же количество частей. На развёртке проводим образующие.
6. На развёртке наносим точки сечения, которые находятся на образующих S1 - S8.
7. Полученные точки на развёртке соединяем плавной кривой линией.
8. К развёртке боковой поверхности конуса пристраиваем натуральные величины основания и сечения.

Рис.2

Рис.3
5. Взаимное пересечение поверхностей вращения.	Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13