Основные сведения из теории оболочек

В своем большинстве листовые конструкции являются оболочками различной формы. Оболочкойназывают сплошную конструкцию (или элемент), две ограничивающие криволинейные поверхности которой от­стоят друг от друга на весьма малое расстояние, во много раз меньшее, чем прочие размеры. Воображаемую поверхность, равноотстоящую от обеих ограничивающих поверхностей, называют срединной поверхно­стью.Геометрическое наименование оболочки определяется формой ее срединной поверхности (цилиндрическая, сферическая, эллипсоидаль­ная, торосферическая и т.д.).

Рис. 1.3. Оболочка вращения

В оболочках вращения, образуемых вращением произвольной плоской кривой вокруг оси z-z (рис. 1.3), каждая точка меридиана описывает окружность, плоскость которой нормальна к оси z-z. Меридиан в каждой своей точке является одним из главных сечений поверхности. Радиус кривизны меридиана R ₁, равный cO ₁, является первым главным радиусом кривизны поверхности вращения. Параллель с радиусом r, являясь одной из линий кривизны поверхности, не является одним из главных сечений, таким сечением является кривая К, центр кривизны которой лежит на нормали в точке с поверхности и одновременно на оси y –y независимо от формы меридиана. Таким образом, второй главный радиус кривизны R₂ равен сO₂. Если j - угол между нормалью и осью вращения, а r – радиус параллели, то .

В зависимости от отношения радиуса оболочки к ее толщине принято разделять оболочки на толстостенные, <20, в теории которых рассматривается трехосное напряженное состояние, и тонкостенные, ³20, теория которых основана на рассмотрении двухосного напряженного состояния.

Применительно к листовым конструкциям большинство оболочек являются тонкостенными, для которых характерно безмоментное двухосное напряженное состояние, за исключением мест скачкообразного изменения нагрузки или формы оболочки, где возникают локальные, быстро затухающие при удалении от этих мест (краев), напряжения краевого эффекта. В частном случае оболочки вращения, находящиеся под действием осесимметричной нагрузки в безмоментном напряженном состоянии, действуют только нормальные меридиональные и кольцевые усилия.

Рис. 1.4. К определению усилий в оболочке вращения.

Безмоментное напряженное состояние оболочек вращения описыва­ется уравнением Лапласа, получаемым из рассмотрения равновесия бес­конечно малой площадки, выделенной двумя меридиональными и двумя горизонтальными плоскостями (рис. 1.4)

(1.1)

где N ₁ и N ₂ - соответственно меридиональное и кольцевое усилия; р - нормальная составляющая внешней нагрузки на элементарной пло­щадке. Кроме того, рассматривая равновесие вершинной части обо­лочки, отсеченной горизонтальной плоскостью, перпендикулярной оси симметрии z-z, получают зависимость для определения меридионального усилия N ₁

или (1.2)

Кольцевое усилие можно найти из уравнения Лапласа (1.1) с исполь­зованием равенства (1.2)

. (1.3)

Для определения меридиональных и кольцевых усилий в оболочках конкретного типа достаточно подставить в равенства (1.2), (1.3) радиусы кривизны. Соответствующие напряжения при толщине оболочки t будут равны:

; .

Для сферической оболочки , поэтому

. (1.4)

Для цилиндрической оболочки ; , следовательно

; . (1.5)

Рис. 1.5. Схема конической оболочки

Для конической оболочки (рис. 1.5) при ; будем иметь:

; (1.6)

Для листовых конструкций в виде оболочек вращения, находящихся под действием осесимметричной нагрузки, условие прочности определя­ется выражением

(1.7)

где , - соответственно меридиональные и кольце­вые напряжения; m - коэффициент условий работы конструкций, назна­чаемый в соответствии с требованием СНиП 2.09.03-85 «Сооружения промышленных предприятий».

При этом абсолютные значения нормальных напряжений не должны быть больше значений расчетных сопротивлений, умноженных на m:

. (1.8)

В местах возникновения краевого эффекта в сечениях оболочек, кро­ме меридиональных и кольцевых усилий, определяемых по безмоментной теории, появляется еще изгиб оболочек, сопровож­дающийся возникновением изгибающих моментов, поперечных сил и дополнительных меридиональных и кольцевых усилий. Физическими причинами возникновения этих усилий могут быть:

- стесненность свободы перемещений точек линии сопряжения и то­чек прилегающей зоны оболочки под действием нагрузок (рис. 1.6);

Рис. 1.6. Стесненность свободы перемещений при скачкообразном изменении формы оболочки

- разрыв непрерывности силовых воздействий.

Дня определения этих усилий применяется моментная теория оболо­чек, на основе выводов которой появляется возможность решить задачу о краевом эффекте обычными методами строительной механики: методом сил или методом перемещений.

Местные напряжения краевого эффекта в соответствии с действую­щими нормами проектирования [3] должны быть учтены при расчете лис­товых конструкций.