Выбор числа ступеней

Важной задачей является выбор числа ступеней и распределение передаточного числа между ступенями.

Задача решается:

1) из условий минимизации габаритов;

2) из условий минимизации приведенного момента инерции (это нужно для быстродействия, улучшения стартстопности, для уменьшения погрешности).

5.10 Расчет зубчатых передач на прочность

5.10.1 Силы, действующие в зубчатом зацеплении

Силу давления принято раскладывать на две составляющие:
, (5.18)
где F_t – окружная сила;
F_r – радиальная сила.

Важные силовые соотношения:
, (5.19)
, (5.20)
, (5.21)
. (5.22)

Нормальная сила на поверхностях зубьев вызывает контактные напряжения , а в основании зубьев – напряжение изгиба . Кроме того, возникает небольшая сила трения:
. (5.23)

Напряжения и переменны во времени, поэтому они вызывают усталостное разрушение.

5.10.2 Повреждение зубьев. Выбор материала

Возникающее напряжение является причиной повреждения при эксплуатации:

1) усталостное выкрашивание (ПИТТИНГ) вызывает контактное напряжение , характерны для закрытых хорошо смазанных передач (сначала выкрашиваются мелкие частицы, затем под давлением масла трещины растут);

2) напряжение изгиба вызывает усталостный излом зубьев, характерно для открытых передач;

3) абразивное изнашивание происходит из-за попадания продуктов износа, внешних частиц.

Материалы зубчатых колец выбирают в зависимости от размеров передаваемой мощности, точности. Наибольшее применение имеет сталь и бронза. В приборах дополнительно дюралюминий Д16, текстолит конструкционный, полиамид, капрон.

5.10.3 Расчет зубьев на контактную прочность

Проектировочный расчет осуществляется на усталость по контактному напряжению.

Расчет основан на формуле Герца, по которой контакт зубьев рассматривается как контакт двух цилиндров с радиусом кривизны и .

, Н/мм², (5.24)

где q - нагрузка на единицу длины контактной линии, Н/мм;
- приведенный модуль Юнга;
ν - коэффициент Пуассона (для металлов обычно 0,3; для стекла, кварца 0,26); коэффициент Пуассона – отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной;
- приведенная кривизна.

, (5.25)
. (5.26)

Для практических расчетов по ГОСТ 21354 – 75 формула (5.39) преобразуется к виду:
, (5.27)
где , при ;
, Па^1/2 - коэффициент, учитывающий материал, для стали
Па^1/2;
- коэффициент, учитывающий длину контактной линии,
;
ε - степень перекрытия;
b - ширина зуба.

Формулу (5.42) используют непосредственно в расчетах. Однако существует другой более простой путь расчета, когда находят не напряжение, а межцентровое расстояние, а затем подбирают требуемый модуль.

При этом учитывают очевидное геометрическое равенство:
, (5.28)
. (5.29)

Коэффициент ширины зуба рассчитывается по межцентровому расстоянию:
. (5.30)

Из формулы (5.42) получают:
, мм (5.31)
где , (МПа)^1/3, для прямозубых колес
(МПа)^1/3;
- вращающий момент на колесе, Н·м;
- коэффициент концентрации нагрузки.

Учитывают очевидные равенства:
, (5.32)
. (5.33)

Полученное по формуле (5.48) значение модуля округляем до стандартного значения и затем осуществляем проверочный расчет по усталостным напряжениям изгиба.

5.10.4 Выбор допускаемых контактных напряжений

Допускаемые контактные напряжения определяют по эмпирическим формулам. В зависимости от материала, термической обработки, твердости на поверхности и т.д.

Допускаемое напряжение определяют по следующей формуле:
, (5.34)
где - предел контактной выносливости при базовом числе цикла.

Эту величину определяют по кривым усталости (диаграмма Вёллера).

Пределом контактной усталости (выносливости) – называется то максимальное напряжение, при котором образец материала придерживает базовое число циклов.

Причем базовое число циклов соответствует перелому диаграммы Вёллера.

Существуют упрощенные формулы для определения предела усталости. Например, для стали с твердостью по Бринеллю НВ≤350 (при улучшении нормализации).

. (5.35)

Пример: Сталь 45 НВ=190 МПа, МПа.

- коэффициент долговечности, учитывающий влияние ресурса;

- коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности. Он зависит от параметра Ra. Обычно =0,9…1. Для шлифованных и полированных поверхностей Ra=0,63…1,25мкм; =1;

- коэффициент динамичности, учитывающий влияние окружной скорости. При V<5м/с; =1;

- коэффициент запаса прочности; при объемной закалке =1,1…1,2; при поверхностной закалке =1,2…1,3.

5.10.5 Расчет зубьев для предотвращения усталостного излома

Зуб схематизируется консольной балкой. Для надежности расчета принимают, что вся нагрузка приложена к вершине зуба, а не по делительной окружности и воспринимается только одним зубом.

Сделаем чертеж.

Разложим силу :
, (5.36)
, (5.37)
, (5.38)
где - угол при вершине, .

Сила изгибает, а сила – сжимает. Эпюры изгиба и сжатия напряжения показаны на рисунке.

Опасным сечением является основание зуба. Это зона концентрации напряжения. За расчетное принимают напряжение на растянутой стороне. Именно здесь зарождаются усталостные трещины.

Напряжение изгиба определяется по формуле:
, (5.39)
, (5.40)
где - осевой момент сопротивления, мм³;
- изгибающий момент в основании консоли;
- площадь поперечного сеченья зуба.

Умножим и поделим выражение (5.55) на значения модуля m, тогда формула (5.55) может быть представлена в виде:
, (5.41)
где - коэффициент формы зуба;
значение этого коэффициента можно брать с графиков книги Ванторина.

Из формулы (5.56) получаем более удобную формулу для проверочного расчета. Для этого вводим вращающий момент Т ₁ и коэффициент ширины зуба по делительному диаметру .

. (5.42)

. (5.43)

. (5.44)

, (5.45)
где - коэффициент, учитывающий перекрытие зубьев;
- коэффициент наклона зубьев (для прямозубых =1);
- коэффициент распределения нагрузки между зубьями
(обычно =1);
- коэффициент динамичности, зависит от окружной скорости V;
z ₁ – число зубьев шестерки.

Определяют значение модуля и условие прочности на изгиб:
, (5.46)
где ; для прямозубых передач .

5.10.6 Выбор допускаемых напряжений изгиба

Напряжение по изгиба зубьев изменяется по прерывистому отнулевому циклу.

Это объясняется тем, что движение зубчатых механизмов однонаправленное, поэтому цикл является несимметричным. В расчет входит предел усталости для от нулевого цикла при базовом числе цикла циклов. При определении допускаемых напряжении учитывают долговечность работы, шероховатость поверхности и реверс, то есть:
, (5.47)
где - определяется по диаграмме Вёллера.

Помимо диаграммы Веллера используют эмпирические формулы.

Для стали 45 НВ<350 =1,75 НВ, МПа.

- коэффициент долговечности (ресурса) ;

- коэффициент учета шероховатости поверхности между зубьями;

- коэффициент учета реверса; для преимущественно одностороннего движения =1;

- коэффициент запаса прочности, =1,55…1,70.

5.10.7 Особенности выбора и проверочного расчета модуля зубчатого зацепления в приборных механизмах

При выборе модуля зацепления приборных механизмов используется иной подход, чем при проектировании силовых передач. Это связано с тем, что при расчетах по приведенным выше формулам даже для выходного наиболее нагруженного колеса значение модуля получается значительно меньше минимальной стандартной величины. Вследствие этого конструктор вынужден конструктивно увеличивать значение модуля до приемлемой в конструкции величины. Практика конструирования мелкомодульных механизмов выработала прием выбора модуля на основе равенства диаметров валов электродвигателя и конца входного вала механизмов. Если ведущие звенья передачи (шестеренки, червяки) выполненные за одно целое с валом, то ориентированно модуль зацепления выбирают из соотношения:
. (5.48)

Полученное значение округляют до стандартной величины по ГОСТ.

Если используются другие конструктивные решения, в частности, если шестерня – съемная деталь, то модуль выбирают из соотношения:
. (5.49)

Нахождение модуля по приведенным выше формулам не является окончательным. Окончательное решение по выбору модуля делается по основному проверочному расчету для колеса, закрепленного на выходном валу механизма, так как оно является наиболее нагруженным.

В основу проверочного расчета можно положить условие изгибной прочности зубьев, полученное выше:
, (5.50)
где - крутящий момент на выходном валу;
- число зубьев;
- коэффициент прочности, =4…5;
- коэффициент динамичности, =1,5…1,8 (большое значение при повышенных окружных скоростях);
- ширина зуба;
- коэффициент ширины зуба (относительная безразмерная величина).

Значение допускаемых напряжений изгиба зависит от применяемого материала.

5.11 Расчет зубчатых передач на точность

5.11.1 Характеристики точности

Точность зубчатой передачи зависит от точности выполнения геометрических элементов, а так же от точности их относительного расположения.

Стандарты разделяют показатели точности на четыре группы:

1) кинематическая погрешность;

2) плавность работы;

3) контакт зубьев;

4) значение бокового зазора.

Первая группа показателей. Кинематическая погрешность характеризует постоянство передаточного отношения за один оборот ведущего и ведомого звеньев.

ГОСТ вводит понятие кинематической погрешности. Различают кинематическую погрешность одного колеса (КП) и кинематическую погрешность передачи (КПП).

Вторая группа показателей. Плавность хода характеризует постоянство передаточного отношения в пределах поворота колеса на один зуб. Она оценивается циклической погрешностью многократно повторяющееся за оборот колеса. Математически плавность хода оценивается по формуле:
. (5.51)

От величины резко зависит шумность передачи.

Третья группа показателей. Степень контакта сопряженных зубьев. Этот показатель полноту прилегания рабочих поверхностей. Он определяется экспериментально по пятну контакта. Показатель применяется для тяжело нагруженных передач. В приборных механизмах он не оценивается.

5.11.2 Степень точности

По нормам первых трех групп показателей для сравнительной оценки точности изготовления зубчатых передач и их сборки по ГОСТ 9178-81 предусмотрено 12 степеней точности.

Именно по степеням точности назначают допуски и отклонения.

5.11.3 Нормы бокового зазора. Виды сопряжений

При зацеплении зубья зацепляются по одной рабочей паре, поэтому неизбежно образуется боковой зазор j_n. боковой зазор обязательно измеряется по нормали профиля соприкасающихся зубьев.

Боковой зазор j_n существенно необходим:

- он компенсирует температурную деформацию;

- компенсирует влияние неточности межосевого расстояния;

- необходим для смазки.

Значение бокового зазора определяется видом сопряжения не зависимо от степени точности передачи ГОСТ для модуля m≤1мм, устанавливают пять видов сопряжения: H, G, F, E, D и четыре вида допуска ITj: h, g, f, e.

5.11.4 Расчет кинематической погрешности

Принципиальным положением является то, что в расчетах кинематической погрешности имеют дело с её допускаемыми (табличными) значениями , так как действительную кинематическую погрешность определять трудно и можно в результате сложных измерений.

Для зубчатого колеса - это кинематическая погрешность при зацеплении с идеальным колесом. Она дается в таблице в мкм по делительной окружности в зависимости от степени точности и диаметра (таблица в методичке №2413). Конструктору удобно пользоваться величиной кинематической погрешности в угловых минутах, поэтому табличные значения переводят в угловую величину:
, рад. (5.52)

Переведем радианы в угловые минуты, а мкм в мм, получим:
, угл. мин. (5.53)

5.11.5 Расчет мертвого хода

Мертвым ходом – зубчатой передачи величина рассогласования в движениях ведущего и ведомого звеньев при перемене направлении вращения (при реверсе).

Причиной мертвого хода является зазор между зубьев, а так же зазор в опорах (подшипниках). Мертвый ход приводит к снижению точности, особенно в механизме настройки и росту динамических нагрузок при реверсировании. Расчет проводят по табличным значениям гарантированного бокового зазора. Боковой зазор в таблице j_n измерен по общей нормали nn.

Из чертежа можно найти мертвый ход на начальной делительной окружности:
мкм. (5.54)

Конструктора и технолога интересует мертвых ход в угловых единицах:
, рад. (5.55)

Переводим мертвый ход из рад. в угл. мин.:
, угл. мин. (5.56)

Для трехступенчатой передачи мертвый ход так же, как и кинематическая погрешность определяется суммированием по степеням, то есть:
. (5.57)

Для расчета мертвого хода существует два метода:

1) метод максимума и минимума (метод наихудшего случая);

2) метод вероятности, когда учитывается процент риска.

Для уменьшения мертвого хода в механизмах РЭС предусматриваются следующие меры:

1) зубчатые колеса с минимальной нормой на боковой зазор jn;

2) принимают рациональную разбивку общего передаточного отношения по ступеням из условия: ;

3) применяют специальные безлюфтовые зубчатые колеса с пружинами растяжения или кручения;

4) принимают опоры (подшипники) с минимальным зазором;

5) увеличивают жесткость валиков на кручение для уменьшения упругого мертвого хода.

5.11.6 Конструкция и материалы зубчатых колёс

Зубчатые колеса, как правило, применяются трёх типов:

- без ступицы (только мелкомодульные);

- с односторонней ступицей;

- с двухсторонней ступицей.

Ступица – часть колеса, которая соединяется с валом.

Колёса с двухсторонней ступицей наименее технологичны.