Статистика

Статистика – коллективное свойство системы взаимодействующих частиц, связанное с неразличимостью частиц и вероятностным характером описания состояний системы в квантовой механике. Определение этого понятия будет дано ниже. Статистика проявляется для систем, состоящих из не менее двух одинаковых микрочастиц. Одинаковые микрочастицы имеют равные массы, электрический заряд, спин и другие характеристики, с помощью которых отличают микрочастицы одного сорта от микрочастиц другого сорта. Нельзя пронумеровать микрочастицы одной природы, чтобы можно было следить за движением каждой из них вдоль соответствующей траектории, уже хотя бы потому, что понятие траектории в квантовой теории теряет смысл. Поэтому вводится понятие тождественности частиц, согласно которому все одинаковые частицы, образующие данную квантовомеханическую систему, оказываются абсолютно неразличимыми. Если в системе тождественных частиц поменять местами две частицы, то перестановка частиц не приведет ни к каким изменениям в состоянии системы и не может быть экспериментально обнаружена.

Пусть имеется простейшая система из двух тождественных частиц. Состояние каждой из частиц в пространстве задается тремя координатами и проекцией спина на выбранную ось. Обозначим эти состояния каждой из частиц как ζ₁ и ζ₂ соответственно. Такая система описывается волновой функцией ψ(ζ₁,ζ₂). В силу принципа тождественности частиц, состояния системы, получающейся в результате простой перестановки обеих частиц, должно быть физически эквивалентным исходному состоянию. В квантовой механике доказывается, что

Таким образом, при перестановке частиц волновая функция системы либо не меняется, либо меняет свой знак. Функцию, которая не меняет свой знак при перестановке пары частиц, называют симметричной, в противном случае – антисимметричной. Эти же свойства обобщаются на системы, включающие более двух тождественных частиц.

Вид симметрия волновой функции определяется физической природой частиц и не зависит ни от энергии взаимодействия между частицами, ни от наличия внешних полей.

Такое свойство тождественных частиц по отношению к перестановкам определяет вид распределения частиц по вероятностям состояний, называемый статистикой.

Существует два вида квантовой статистики. Каждой из статистик отвечает свой закон распределения вероятностей нахождения частиц в состояниях с определенными квантовыми параметрами: распределение Бозе-Эйнштейна и распределение Ферми-Дирака.

Частицы с целым спином (например, фотоны, пионы) образуют системы, которые описываются симметричными волновыми функциями при перестановке любой пары частиц. Частицы такого рода подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и получили название бозонов.

Частицы с полуцелым спином (например, нуклоны, электроны), которые образуют связанные структуры и описываются антисимметричными функциями при перестановке частиц, подчиняются статистике Ферми-Дирака и носят названия фермионов. Частицы с полуцелым спином (фермионы) подчиняются принципу или запрету Паули: в любой системе тождественных фермионов в одном и том же одночастичном состоянии, которому отвечает определенный набор квантовых параметров (энергия, спин, четность), не может находиться больше одной частицы.

Отметим число возможных состояний системы из двух тождественных частиц, если имеется два состояния для каждой из частиц.

В статистике Бозе-Эйнштейна возможны три состояния системы:

а) Обе частицы в первом состоянии (обе размещены на первой полке).

б) Обе частицы во втором состоянии (обе размешены на второй полке).

в) Одна из частиц в первом состоянии, другая – во втором (одна на первой полке, другая на второй). Какая именно из частиц – вопрос, не имеющий смысла.

В статистике Ферми-Дирака возможно только одно состояние системы:

а) Одна из частиц находится в первом состоянии, другая - во втором. Какая именно из частиц – вопрос, не имеющий смысла.

Оба распределения при переходе к макроскопическим условиям переходят в классическое распределение Больцмана. Например, в сильно возбужденном состоянии энергетические уровни ядра почти сливаются, и ядро становится похожим на макроскопическую систему, для которой разрешены любые значения энергии. Поэтому, например, энергетический спектр нейтронов, вылетающих из ядра в таком состоянии (например, при делении ядер), близок к распределению Максвелла (которое является следствием распределения Больцмана). Энергетическое состояние самого ядра при этом может быть описано с помощью такого макроскопического параметра, как температура.

Приведем некоторые примеры использования статистики. В предыдущем параграфе рассмотрены возможные значения вектора изотопического спина для систем, состоящих из двух нуклонов. Так как система состоит из фермионов, то они должна описываться антисимметричной волновой функцией, которая для нуклонов теперь, зависит не только от пространственных координат и проекций спинов, но и от проекций изотопического спина. При перестановке нуклонов переставляются все эти три сорта переменных волновой функции. Волновая функция системы при такой полной перестановке может менять знак только в двух случаях:

1). Волновая функция системы антисимметрична по каждому сорту переменных. Очевидно, что нечетное число перестановок изменит знак волновой функции;

2). Волновая функция системы антисимметрична по одному сорту переменных и симметрична по двум другим. В этом случае перестановка по антисимметричному сорту переменных изменит знак волновой функции, тогда как перестановка по симметричным двум другим не изменит знака. Таким образом, и в этом случае нечетное число перестановок изменяет знак волновой функции.

По координатным переменным волновая функция рассматриваемой системы симметрична в состояниях с четным орбитальным моментом (l = 0, 2, …), которые обозначаются как s -, d -, … состояния (см. §2.3), и антисимметрична при нечетном орбитальном моменте (l = 1, 3, …), которые обозначаются как p -, f -, … состояния.

По спиновым переменным волновая функция системы симметрична в состояниях с суммарным вектором спина, равным единице (спины нуклонов параллельны), и антисимметрична в состояниях с суммарным спином, равным нулю (спины нуклонов антипараллельны).

Так как в s - и d - состояниях волновая функция системы из двух нуклонов симметрична, то она должна обладать противоположными свойствами симметрии для суммарных значений спина и изотопического спина: если спин равен единице, то изотопический спин должен быть равен нулю, и наоборот. Напротив, в p - и f - состояниях спин и изотопический спин должны иметь одинаковые значения – либо нуль, либо единицу.

Рассмотрим возможные состояния дейтона ²Н. Спин I дейтона равен единице (см. §1.9 п.4) и орбитальный момент l должен быть равен либо нулю, либо двойке, чтобы спин ядра ²Н был равен единице:

I = l + S n + S p =

(1.11.2)

Такой же результат можно получить из рассмотрения четности дейтона. Полная четность дейтона в основном состоянии положительна и равна (-1) ^l (см. (1.8.10)).Тем самым, в основном состоянии дейтон не может иметь орбитальный момент l = 1, а должен находиться в s - или d - состояниях с l = 0 или 2.

Таким образом, волновая функция дейтона симметрична по величине спина I = 1 и величине орбитального момента l = 0, 2. Поэтому для дейтона, единственного связанного состояния системы (n-p), изотопический спин Т должен быть равен нулю. Остальные три системы (n-n), (p-p) и (n-p), как показано в предыдущем параграфе, имеют изотопический спин Т, равный единице, из чего следует равенство нулю суммарного спина I системы и величины орбитального момента l. Следовательно, эти три системы находятся в одинаковых квантовых состояниях и поэтому тождественны относительно ядерного взаимодействия. В таблице 1.11.1 приведены возможные состояния системы из двух нуклонов в s -состоянии.

Из экспериментального факта существования единственного связанного состояния системы (n-p) – дейтона с параллельными спинами нейтрона и протона (см. §1.9 п.4) и отсутствием связанного состояния системы (n-p) с антипараллельными спинами следует вывод о невозможности связанных состояний систем (n-n) и (p-p) – бинейтрона и бипротона. Попытки экспериментально обнаружить эти системы в связанном состоянии не увенчались успехом до настоящего времени.