Радиоактивный распад – явление принципиально случайное. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное ядро, а можно лишь указать с какой вероятностью оно распадется за тот или иной промежуток времени. Распад отдельного радиоактивного ядра не зависит от присутствия других ядер и может произойти в любой интервал времени. Наблюдения за очень большим числом одинаковых радиоактивных превращений ядер позволяет установить вполне определенные количественные закономерности для характеристики процесса радиоактивного распада.
Естественная статистическая величина, характеризующая радиоактивный распад, – постоянная (или константа) распада λ – определяет вероятность распада ядра в единицу времени и имеет размерность [время]‑1. Экспериментальные и теоретические исследования позволяют заключить, что постоянная распада λ не зависит, по-видимому, от времени, прошедшего с момента образования ядра, что отражено в названии.
Пусть ядро достоверно существует в некоторый момент времени t = 0, условно принимаемый за ноль. У этого ядра к произвольно выбранному моменту времени t может реализоваться одна из двух возможностей:
1) ядро испытало радиоактивный распад и вероятность такого события равна ;
2) ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность такого события равна .
Очевидно, что
(3.2.1) |
Установим, чему равна вероятность испытать ядру радиоактивный распад за время dt. Прежде, чем ядро испытает распад за интервал времени между , необходимо, чтобы ядро не распалось к моменту времени t. Вероятность dp (t) такого сложного события будет равна
(3.2.2) |
где λ dt - вероятность распада ядра за время dt. Используя (3.2.1) уравнение (3.2.2) приведем к виду
. | (3.2.3) |
Поскольку ядро достоверно существует в момент времени , то имеем очевидное начальное условие . Тогда искомая вероятность составит
(3.2.4) |
При помощи (3.2.1) и (3.2.4) найдем для ядра вероятность q (t) не испытать распада к моменту времени t:
(3.2.5) |
Соотношения (3.2.4) и (3.2.5) содержат полное описание статистических свойств радиоактивного распада ядер и позволяют определить любые статистические характеристики распада.
Найдем среднее время жизни ядра, используя определение для математического среднего:
(3.2.6) |
поскольку – вероятность того, что ядро, прожив время t, распадется за время между .
Пусть в момент времени t = 0 имелось N 0 радиоактивных ядер одной природы. Наиболее вероятное (ожидаемое) число ядер N (t), которые не испытают радиоактивного распада к моменту времени t, должно составить
, | (3.2.7) |
а соответственно число распавшихся ядер (d – decay – распад)
(3.2.8) |
Формула (3.2.7) выражает основной закон радиоактивного распада. Следует еще раз подчеркнуть, что имеют смысл наиболее вероятного количества оставшихся и распавшихся радиоактивных ядер к моменту времени t. Реальные же количества радиоактивных ядер к моменту времени t могут быть как больше, так и меньше. Используемая далее в выражениях величина N, если не оговорено иное, всегда имеет смысл среднего числа ядер.
В ядерной физике и ее приложениях используется еще одна временная характеристика распада – период полураспада Т 1/2, которая определяет время, за которое первоначальное количество ядер N 0 должно уменьшиться в два раза. Установим связь между периодом полураспада Т 1/2 и постоянной распада λ. По определению
(3.2.9) |
откуда
(3.2.10) |
Сравнивая это выражение с (3.2.6) устанавливаем, что
(3.2.11) |
Для характеристики радиоактивных свойств вещества, т.е. совокупности большого числа радиоактивных ядер, служит специальная величина, характеризующая скорость радиоактивных превращений, которая называется активностью. Активность А (не путать с массовым числом А!) – среднее число ядер в образце, испытавших радиоактивный распад за единицу времени. Для радиоактивных ядер одной природы получим, используя (3.2.8):
(3.2.11) |
Полученное выражение можно записать в следующем виде (учитывая (3.2.7)):
(3.2.12) |
или же в виде
(3.2.13) |
где - начальная активность образца.
Единицей измерения активности в СИ служит беккерель (Бк),
1 Бк = 1 распад/с. |
Часто в практических приложениях используется другая единица измерения активности - кюри (Ки):
1 Ки = 3,7·1010 Бк. |
Активность, отнесенная к массе радиоактивного препарата, называется массовой удельной активностью. Для жидких и газообразных веществ иногда используют объемную удельную активность.
Для характеристики радиоактивных свойств чистых нуклидов (без учета вторичных компонент, возникающих после распада) используют удельную активность нуклида – активность единицы массы этого нуклида:
, | (3.2.14) |
т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени.
Для определения l (а, следовательно, t и Т 1/2) можно использовать формулу (3.2.12), если в некоторый произвольный момент времени измерить активность препарата и число радиоактивных ядер. Этим методом удобно пользоваться, когда период полураспада достаточно велик, и поэтому изменением числа радиоактивных ядер за время измерения активности можно пренебречь. Если период полураспада Т 1/2 не очень велик, то можно непосредственно снять кривую изменения активности через определенные интервалы времени. Затем по полученным значениям строят график зависимости натурального логарифма активности от времени. Постоянную распада l удобно находить, если записать (3.2.13) в виде:
(3.2.15) |
Зависимость (3.2.15) представляет собой прямую, а l определяется по тангенсу угла наклона этой прямой (рис. 3.2.1) или непосредственно по уменьшению активности вдвое. В реальных условиях экспериментальные точки имеют неизбежный разброс, определяемый статистической природой радиоактивного распада. Для проведения через такие точки наиболее достоверной прямой обычно используют метод наименьших квадратов, в результате чего среднеквадратичное отклонение точек от найденной прямой будет минимальным.
Весьма распространенными являются случаи распада радиоактивных ядер с образованием не только стабильных, но и радиоактивных дочерних ядер. В последнем случае возникают цепочки распадов. Примером таких цепочек могут служить рассмотренные выше радиоактивные семейства. Баланс числа радиоактивных ядер при этом определяется следующими уравнениями:
(3.2.16) | |
............. |
где индекс 1 относится к первичным материнским ядрам, а индексы 2, 3,... – к дочерним. Распад ядер N 1 описывается обычным законом распада (3.2.7). Баланс ядер каждого дочернего вещества определяется скоростью собственного распада (активностью) и скоростью рождения, равной скорости распада ядер-предшественников. Решение каждого уравнения (3.2.16) зависит только от вида решения предшествующего. В простейшем случае, когда в начальный момент времени дочерних ядер нет, а количество материнских ядер равно N 10, решение каждого k -го уравнения из (3.2.16) имеет вид:
(3.2.17) |
Полное число радиоактивных ядер есть сумма всех количеств ядер Nk, существующих в данный момент времени.
Из общего решения (3.2.17) получаем решение для N 2(t):
(3.2.18) |
Из (3.2.18) следует, что в момент времени
, | (3.2.19) |
количество ядер N 2 достигает своей максимальной величины
, | (3.2.20) |
а затем монотонно убывает. Если l1 << l2 (или (Т 1/2 )1 >> (Т 1/2 )2) и t» (Т 1/2 )2, то из (3.2.18) в пределе t → ∞ получаем
, | (3.2.21) |
т.е. устанавливается динамическое равновесие между активностью материнского и дочернего препаратов, которое называется вековым равновесием. Вековое равновесие широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих материнских нуклидов по известным значениям l2 и отношению N 2/ N 1. Очевидно, что при выполнении соответствующих условий вековое равновесие может наступать для любой пары соседних элементов в цепочке распадов.
Другой предельный случай l1 >> l2 (или (Т 1/2 )1 << (Т 1/2 )2) при t» (Т 1/2 )1 дает зависимость
, | (3.2.22) |
которая фактически является кривой распада дочернего вещества.