Геометрические характеристики 9 страница

Рис.1.54. Схема определения периметра контура расчетного сечения при неравномерном расположении поперечной арматуры.

Следует отметить, что суммарное значение усилия принимают по уравнению

, (1.144)

причем поперечную арматуру следует учитывать в расчете при

, (1.145)

Остальные расчетные требования следует учитывать согласно п.6.2.48 СП52-101-2003, а также общих рекомендаций по армированию.

8. Расчет элементов железобетонных конструкций по предельным состояниям второй группы

Расчеты по предельным состояниям второй группы включают в себя:

- расчеты по раскрытию трещин;

- расчеты по перемещениям.

Расчеты по образованию трещин выполняют для проверки необходимости расчета по раскрытию трещин, а также для проверки необходимости учета трещин при расчете по перемещениям.

Требования по отсутствию трещин предъявляют к предварительно напряженным конструкциям, у которых при полностью растянутом элементе должна быть обеспечена непроницаемость (сосуды под действием жидкости или газа и.т.д.), к уникальным конструкциям, а также к конструкциям при воздействии агрессивной среды.

При расчете по предельным состояниям второй группы коэффициент надежности по нагрузке принимают (γ_f =1,0), т.е. расчет ведут по нормативным нагрузкам.

Расчет изгибаемых предварительно напряженных элементов по предельным состояниям второй группы выполняют как при внецентренном сжатии на совместное действие усилий от внешней нагрузки (M) и осевой силы (N), равной усилию предварительного обжатия (P₍₂₎).

8.1 Определение момента образования трещин, нормальных к продольной оси элемента

Изгибающий момент (M_crc) вызывающий образование трещин, определяют различными методами (с учетом или без учета неупругих деформаций и т.д.). Рассмотрим определение (M_crc) для изгибаемого элемента без учета неупругих деформаций. Для этого следует ввести ряд допущений:

1 – сечения после нагружения остаются плоскими;

2 – сечение должно иметь вертикальную ось симметрии;

3 – сечение должно иметь постоянную форму, размер и величину площади;

4 – материал элемента следует считать сплошным и однородным;

5 – материал элемента неодинаково работает на растяжение и сжатие (R_b≠ R_bt),причем (E_b≠E_bt);

6 – напряжения в бетоне растянутой зоны элемента распределены по высоте линейно, максимальные напряжения равны R_bt,ser;

7 – наибольшая деформация крайнего растянутого волокна равна (R_bt,ser/E_b);

8 – наличие неупругих деформаций в бетоне следует учитывать уменьшением ядрового расстояния «r»;

9 – напряжения в бетоне сжатой зоны распределены как при упругом деформировании;

10 – растягивающие напряжения в предварительно напряженной арматуре следует принимать равными с учетом формулы

,

где все обозначения даны ранее;

11 – сжимающие напряжения в ненапрягаемой арматуре предварительно напряженных элементов следует принимать равными (),

где () и () – потери предварительного напряжения в арматуре от ползучести и усадки соответственно;

12 – высота трещины в любом поперечном сечении должна находиться в пределах 2a≤h_T≤h/2

где (h_T) - высота трещины в нормальном сечении элемента.

Экспериментально установлено, что перед образованием трещин нагруженный железобетонный предварительно напряженный элемент находится на 1-й стадии напряженно-деформированного состояния (). Поэтому нормами рекомендовано определять момент, вызывающий начало образования трещин, как для сплошного линейно упругого тела. В этом случае расчетная схема принимает вид (см. рис.1.55)

Рис.1.55 Определение (M_crc) для изогнутого элемента

Сжимающие напряжения в бетоне () от усилия предварительного обжатия на первой стадии напряженно-деформированного состояния (упругое деформирование) определяют как для внецентренного сжатия по формуле (1.48) без учета собственного веса элемента

, (а)

где - момент сопротивления изгибу элемента, определяемый для приведенного сечения при упругом деформировании по формуле

, (б)

где - момент инерции площади приведенного сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости изгиба;

– расстояние от центра тяжести приведенного сечения до волокна, трещиностойкость которого проверяют (рис.1.55 б).

Величину в общем виде следует определять по формуле (1.47)

Момент, соответствующий началу образования трещин в предвари- тельно напряженном элементе для удобства и упрощения расчета обычно представляют в виде 2-х слагаемых:

, (в)

где М₁ – момент, уменьшающий максимальные напряжения от предварительного обжатия (σ_bp) до нуля (рис.1.55б);

М₂ – момент, увеличивающий напряжения в крайнем нижнем волокне растянутой от внешних нагрузок зоне от нуля до R_bt,ser.

Так как работа элемента происходит на стадии упругого деформирования (первая стадия НДС), то напряжения и от момента М₁, и от момента М₂ следует определять по известным формулам сопротивления материалов.

В частности

, (г)

откуда . (д)

Подставив уравнение (а) в уравнение (д), получаем

, (е)

причем , (1.146)

где r – координата так называемой ядровой точки, наиболее удаленной от рассматриваемого волокна, для которого выполняют проверку на трещиностойкость.

Ядровая точка – это некоторая точка, определяющая положение оси, относительно которой определяют изгибающий момент M₁.

Перейдем к определению напряжений от момента M₂ (см. рис.1.46 в). Поскольку, как и в первом случае (с моментом M₁) работа элемента происходит на стадии упругого деформирования (), то максимальные напряжения от момента M₂ следует вычислять по формуле

, (ж)

откуда . (з)

Принимая во внимание уравнения (в), (е) и (з), окончательно можно получить выражение для момента начала образования трещин (M_crc):

(1.147)

где знак «+» принимают, если моменты M₁ и M₂ имеют одинаковые знаки и знак «-», если моменты имеют разные знаки (внешняя нагрузка вызывает растяжение в обжатой зоне элемента).

Поскольку формула (1.147) является обобщенной, то условие трещиностойкости следует записать в виде:

, (1.148)

где M_n – величина нормативного момента, определяемая как момент внешних сил относительно оси, проходящей через ядровую точку параллельно нейтральной оси приведенного сечения.

8.2.1 Определение момента образования трещин и моментов внешних сил

Следует отметить, что уравнение (1.130) можно использовать для опреде- ления положения ядровой точки только для изгибаемых элементов. В общем случае величину «r» определяют с учетом типа конструкции и вида нагружения.

Если необходимо выполнить расчет внецентренно сжатых, а также внецентренно растянутых элементов при условии, что

,

где N_crc – продольное усилие, определяющее начало возникновения трещин, то «r» определяют по формуле

. (1.149)

Величину «φ» определяют по эмпирической формуле вида

, (1.150)

То есть фактически коэффициентом «φ» учитывают возможность более низкого (φ≤1) сопротивления растянутой зоны образованию трещин, если в бетоне сжатой зоны имеют место неупругие деформации. Такое явление имеет место во внецентренно сжатых элементах при расположении внешней силы вблизи границы ядра сечения, а также в изгибаемых элементах с развитой растянутой полкой, когда в наиболее сжатой зоне возникают значительные напряжения.

Значения M_n (см. формулу (1.148)) находят как моменты внешних сил относительно оси, проходящей через ядровую точку и параллельной нейтральной оси приведенного сечения (см. рис. 1.56).

Рис. 1.56 Схемы определения моментов внешних сил при изгибе (а), внецентренном сжатии (б) и внецентренном растяжении (в)

1-1 – линия центра тяжести приведенного сечения;

2-2 – ось для определения величин внутренних силовых факторов (моментов).

Как следует из уравнения

; , (1.151)

где все обозначения были даны ранее.

В заключение следует отметить, что при центральном растяжении элемента усилие образования трещины и условие трещиностойкости записывают в виде

, (1.152)

где также все обозначения установлены были ранее.

8.2 Расчет железобетонных элементов по раскрытию трещин

8.2.1 Общие положения расчета

После образования трещин в растянутых наиболее напряженных зонах железобетонных элементов при дальнейшем увеличении нагрузки происходит раскрытие трещин (вторая стадия напряженно-деформирован- ного состояния).

Расчет по раскрытию трещин выполняют в следующих случаях:

- для конструкций, не подвергаемых предварительному напряжению;

- для предварительно напряженных элементов, для которых по техническим условиям допускается кратковременное раскрытие трещин и их последующее закрытие;

- для предварительно напряженных элементов при проверке на непродолжительное и продолжительное раскрытие трещин.

Расчет изгибаемых железобетонных элементов по раскрытию трещин производят в тех случаях, когда имеет место условие

, (1.153)

где M_n – изгибающий момент от нормативной внешней нагрузки, определяемый относительно оси, расположенной в плоскости приведенного поперечного сечения и проходящей через соответствующую ядровую точку;

M_crc – изгибающий момент, характеризующий начало образования трещин (σ_btmax=R_bt,ser) в растянутой зоне элемента и определяемый по формуле (1.147)

Для центрально растянутых элементов расчет по раскрытию трещин выполняют, если соблюдается условие

, (1.154)

где - осевое растягивающее усилие от нормативной внешней нагрузки;

- осевое растягивающее усилие, характеризующее начало образования трещин () в растянутом элементе, определяемое по формуле (1.152).

Расчеты выполняют по непродолжительному и продолжительному раскрытию трещин только после проверки соблюдения условий(1.153-1.154).

Непродолжительное раскрытие трещин определяют при совместном действии постоянных и временных (длительных и кратковременных) нагрузок, продолжительное – только от постоянных и длительных временных нагрузок.

Расчет на раскрытие трещин выполняют по условию

, (1.155)

где - ширина раскрытия трещины от действия нормативной нагрузки;

- предельно допустимая ширина раскрытия трещины, назначаемая нормативно (см. п. 4.2.1.3СП52-102-2004) в зависимости от условий сохранности арматуры или проницаемости конструкций (принята в пределах 0,1…0,4 мм).

Величину определяют по расчетной схеме рис. 1.57.

Рис.1.57. Фактическая (а) и расчетная (б) схемы для определения ширины раскрытия трещин

Как следует из рис. 1.57, ширину раскрытия трещин () определяют, исходя из взаимных смещений растянутой арматуры и растянутого бетона по обе стороны трещины на уровне оси арматуры.

Анализ геометрии трещин показал, что вследствие неоднородности структуры бетона расстояния между трещинами () могут отличаться от средних значений в 1,3…1,5 раза. Фактическую ширину раскрытия трещин определяют по эмпирическим зависимостям.

8.2.2 Определение ширины раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента

Как было указано ранее, ширину раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, определяют по эмпирической зависимости. Эта зависимость имеет вид (см.п.4.3.2.1СП52-102-2004):

, (1.156)

где - коэффициент, учитывающий продолжительность действия нагрузки, рекомендуемый нормами:

=1,0 – при непродолжительном действии нагрузки;

=1,4 – при продолжительном действии нагрузки;

- коэффициент, учитывающий профиль продольной арматуры, рекомендуемый нормами:

=0,5 – для арматуры периодического профиля;

=0,8 – для гладкой арматуры;

- коэффициент, учитывающий вид нагружения, рекомендуемый нормами:

=1,0 – для изгиба и внецентренного сжатия;

=1,2 – для растяжения;

- коэффициент, учитывающий неравномерность распределения линейных деформаций между трещинами; нормы допускают принимать первоначально =1,0 и проверять после расчета выполнение условия (1.155); если это условие не выполняется, то следует определять по формуле

, (1.157)

где - напряжение в продольной растянутой арматуре в сечении с трещиной сразу после образования начальных трещин (методика его определения будет изложена ниже);

- то же самое, но от действия фактической нагрузки (методика его определения также будет изложена ниже);

- базовое (без учета влияния вида поверхности арматуры) расстояние между смежными нормальными трещинами;

- модуль упругости продольной растянутой арматуры.

Значение базового расстояния между трещинами () следует определять по формуле (см. п. 4.2.3.3СП52-102-2004):

, (1.158)

где – площадь поперечного сечения растянутой зоны бетона, определяемая при

- общая площадь арматуры в поперечном сечении элемента;

- средний арифметический диаметр продольной растянутой арматуры. Величину принимают не менее 10и не менее 10 см, а также не более 40и не более 40 см.

Значения в любом случае принимают равным площади поперечного сечения при высоте «х» в пределах

, (1.159)

где - расстояние от равнодействующей усилий в растянутой арматуре до ближайшей грани элемента.

Таким образом, для расчета количественного значения ширины раскрытия трещины по формуле (1.156) необходимо установить зависимость для расчета (а следовательно, и ) для различных видов нагружения.

8.2.3 Определение напряжений в растянутой арматуре изгибаемых предварительно напряженных элементов

Значение напряжений в растянутой арматуре изгибаемых предварительно напряженных элементов определяют, используя расчетную схему, изображенную на рис.1.58.

Рис.1.58. схема определения напряжения в арматуре растянутой зоны элемента при изгибе с предварительным напряжением

Общую величину напряжений () в арматуре растянутой зоны следует определять по эмпирической формуле вида

, (а)

где ввиду условности определения напряжений по формулам для упруго деформируемого тела, условности применения принципа независимости действия сил и проч. введен коэффициент приведения арматуры к бетону .

В развернутой форме уравнение (а) имеет вид:

, (1.160)

где - координата положения одной из главных осей инерции поперечного сечения, относительно которой следует определять ;

- момент инерции приведенной площади поперечного сечения, включающей сжатую зону бетона плюс площади растянутой и сжатой арматуры при условии равенства коэффициентов приведения сжатой и растянутой арматуры к бетону ();

- приведенная площадь поперечного сечения с учетом указанных элементов площадей;

М_n – момент внешних сил относительно оси «х», куда включен и момент силы (P₍₂₎) равный P₍₂₎∙e_op.

Значения коэффициентов приведения арматуры к бетону следует определять по формуле

, (1.161)

где - модуль упругости арматуры

– приведенный модуль деформации бетона, учитывающий его неупругие деформации и определяемый по формуле

, (1.162)

где =0,0015 – приведенная неупругая деформация бетона.

Следует отметить, что в формуле (1.160) знак «плюс» принимают при растягивающей, а знак «минус» при сжимающей продольной силе. Кроме того, напряжения (σ_s) не должны превышать величины (R_s,ser- σ_sp).

Если вместо силы предварительного обжатия приложена какая-то внешняя осевая сила, то ее учитывают, как и силу (P₍₂₎) со своим знаком.

Если осевая сила отсутствует, то формула (1.160) справедлива при условии (P₍₂₎=0). Тогда в момент М_n также не войдет составляющая (P₍₂₎ ∙ e_op). Полученная величина (σ_s) не должна превышать (R_s,ser).

Для определения напряжения (σ_s,crc) в формулу (1.160) вместо величины М_n следует подставить величину (M_crc), определенную согласно уравнения (1.147). Таким образом, после определения коэффициента (ψ_s) согласно уравнения (1.157), можно окончательно подсчитать ширину раскрытия трещины по уравнению (1.156). Поскольку с точки зрения эксплуатацион- ной пригодности важно разделять непродолжительное и продолжительное раскрытие трещины, то необходимо рассмотреть методику их определения.

8.2.4 Методика расчета по раскрытию трещин в зависимости от характера действующих нагрузок

Общее условие пригодности к нормальной эксплуатации вследствие допустимого нормами раскрытия трещин представлено формулой (-----).

Поскольку нормами предусмотрены фактически два вида расчетов (по непродолжительному и продолжительному раскрытию трещин), то необходимо определять в отдельности величины раскрытия трещин при действии полной (постоянной, временной длительной и кратковременной) нагрузки, а также при действии только постоянных и длительных нагрузок.

В соответствии со сказанным различают следующие значения ширины раскрытия трещин:

a_crc1 – ширина раскрытия трещины от продолжительного действия постоянных и временных длительных нагрузок;

a_crc2 – ширина раскрытия трещины от непродолжительного действия постоянных и временных (длительных и кратковременных нагрузок);

a_crc3 – ширина раскрытия трещин от непродолжительного действия постоянных и временных длительных нагрузок.

Тогда условия пригодности к эксплуатации по ширине раскрытия трещин будут иметь вид:

- при продолжительном раскрытии:

a_crc1 ≤ a_{crc1 ,ult}, (1.163)

- при непродолжительном раскрытии:

a_crc1 + a_crc2 - a_crc3 ≤ a_{crc1 ,ult}, (1.164)

Количественные значения для предельно допустимой ширины раскрытия трещины (a_{crc1 ,ult}) следует принимать в соответствии с требованиями п.4.2.1.3 СП52-102-2004.

При расчете величин (a_crc1, a_crc2, a_crc3) по формуле (1.156) коэффициент (φ₁) следует принимать для соответствующего вида действия (непродолжительного или продолжительного) нагрузки.

8.3 Расчет железобетонных изгибаемых элементов на жесткость

8.3.1 Общие положения расчета

Широкое применение сборных железобетонных конструкций из мате- риалов с высокой прочностью привело к уменьшению размеров попереч- ных сечений элементов, а, следовательно, к снижению жесткости конструкций и увеличению линейных и угловых перемещений отдельных их сечений.

Поэтому при указанных условиях основная задача расчета железобетонных конструкций по перемещениям состоит в том, чтобы определить фактические максимальные величины линейных перемещений сечений элементов и сравнить их с допускаемыми нормативными. Такой расчет обеспечивает надежность эксплуатационных свойств конструкции.

Перемещения сечений железобетонных элементов следует вычислять по формулам строительной механики, а также используя общие теоремы механики деформируемого тела. При этом, безусловно, следует учитывать свойства железобетона как композитного материала.

Расчет изгибаемых элементов по максимальным прогибам (линейным перемещениям) выполняют по условию вида

f_max≤f_ult, (1.165)

где f_max – максимальный прогиб в расчетном сечении от действия нормативных внешних нагрузок;

f_ult – предельно допустимый прогиб в расчетном сечении элемента или конструкции, установленный на основании технологических, конструктив- ных или иных требований (см. табл.19-22 СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия).

Для элементов конструкций зданий и сооружений, предельные перемещения для которых не приведены в нормативных таблицах, верти- кальные и горизонтальные перемещения от постоянных, длительных и кратковременных нагрузок не должны превышать 1/150 длины пролета или 1/75 длины вылета консоли.

8.3.2 Определение линейных перемещений точек нейтральной оси железобетонного элемента на участках без трещин в растянутой зоне

Полное значение линейного перемещения (прогиба) какого-либо расчетного поперечного сечения железобетонного элемента, не имеющего трещин в растянутой от внешних нагрузок зоне бетона, следует определять по уравнению:

f=f₁+ f₂ – f₃ – f₄, (1.166)

где f₁ - прогиб от кратковременной нагрузки;

f₂ – прогиб от постоянной и временной длительной нагрузки;

f₃ – выгиб от кратковременного действия усилия предварительного обжатия (P₍₂₎) (т.е.с учетом всех потерь);

f₄ – выгиб вследствие усадки и ползучести бетона от обжатия.