Моделирование случайных процессов

Многие сложные системы при проектировании их структурных схем на метауровне удобно рассматривать как системы массового обслуживания - системы, назначением которых является обслуживание поступающих в систему заявок. Примерами систем массового обслуживания могут служить телефонная станция, сеть магазинов, АСУП, ЭВМ, ремонтное подразделение предприятия, системы передачи данных в электроприводе.

Заявки на обслуживание поступают на вход системы, как правило, в случайные моменты времени и образуют входной поток заявок. Собственно система массового обслуживания представляет собой совокупность каналов (обслуживающих аппаратов), каждый из которых может производить обслуживание - обработку поступившей заявки. Если количество поступивших заявок превышает количество каналов, либо времена обработки заявок превышают времена следования заявок, то образуется очередь заявок.

Основная задача при разработке структурных схем — определить типы и количество каналов, выбрать их параметры и способы взаимосвязи так, чтобы обеспечить максимальную (или требуемую) производительность при некоторых ограничениях, например на общую стоимость системы.

Производительность системы массового обслуживания — пропускная способность — среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Пропускная способность — важнейший выходной параметр системы. К выходным параметрам также относят среднее время ожидания заявок в очереди, вероятность обслуживания каждой из заявок, среднее время простоя каналов, среднее число занятых каналов, относительную пропускную способность. Вероятность обслуживания заявки может быть меньше единицы в системах с отказами, в которых заявки покидают очередь, если время ожидания обслуживания или длина очереди превышают заданные пределы. Относительная пропускная способность системы определяется как отношение числа обслуженных заявок к числу заявок, поступивших за один и тот же отрезок времени в стационарном режиме.

Чтобы решить задачу синтеза структурных схем, нужно, прежде всего, иметь математическую модель системы для оценки выходных параметров и, следовательно, для сравнения различных предлагаемых вариантов построения структурной схемы.

Основными составными частями математической модели системы массового обслуживания являются модель входного потока и модель совокупности каналов и их информационных связей. Кроме того, для анализа процессов обслуживания должна быть задана дисциплина обслуживания.

Модель входного потока есть алгоритм, в соответствии с которым вычисляются моменты времени поступления заявок. Очевидно, что можно построить алгоритм, в котором времена будут реализациями случайных величин, распределенных по любому желаемому закону. Примером наиболее часто используемых потоков в анализе систем массового обслуживания является простейший ноток, т. е. поток, который обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Стационарность — независимость вероятности поступления определенного количества заявок n в течение заданного интервала от положения этого интервала на временной оси. Ординарность — невозможность одновременного прихода двух заявок или более на вход системы. Отсутствие последействия означает, что разных не перекрывающихся интервалов не зависят друг от друга. Число заявок n за время в простейшем потоке подчиняется распределению Пуассона:

При этом параметр распределения , называемый интенсивностью (плотностью) потока, определяет среднее время между моментами прихода заявок и дисперсию интервалов между поступлениями заявок, равную. Знание и позволяет легко организовать выработку значений , моделирующих моменты поступления заявок при анализе системы массового обслуживания на ЭВМ. Аналогичным образом могут реализовыватъся и другие виды входных потоков.

Для примера рассмотрим работу одного канала. Пусть в произвольные моменты времени приходят 5 заявок (см. верхнюю ось времени). Все заявки обрабатываются произвольную продолжительность времени (см. нижнюю ось времени). При этом оказывается, что заявки 1, 2 и 5 начинают обрабатываться с момента их поступления на вход системы. Более того, аппарат до поступления заявок 2 и 5 некоторое время простаивает. Заявки 3 и 4 ставятся в очередь. До момента начала их обработки проходит некоторое время .

Каналы в математической модели системы массового обслуживания должны быть представлены с позиций быстродействия обработки заявок . Так как заявки в общем случае различны, то и время их обслуживания неодинаково и является случайном величиной. Поэтому математическая модель канала как элемента системы массового обслуживания обычно представляет собой закон распределения времени обслуживания.

Наиболее часто для каналов выполняются условия, позволяющие применять в качестве их математических моделей экспоненциальный закон с плотностью распределения , где ( — интенсивность обслуживания. Среднее время обслуживания равно , а дисперсия времени обслуживания .

Среди систем массового обслуживания выделяются системы с приоритетами. В таких системах имеется несколько входов со своими очередями, причем заявки на обслуживание при освобождении какого-либо канала выбираются из очередей в соответствии с приоритетами входов.

Могут быть сформулированы различные правила задания приоритетов, включения заявок в ту или иную очередь, перевода заявок из одной очереди в другую, т. е. заданы разные дисциплины обслуживания. От свойств дисциплины обслуживания зависят выходные параметры системы. Математическая модель системы массового обслуживания позволяет выполнять анализ функционирования системы при разных дисциплинах обслуживания и выбирать среди них наиболее удачную.

Тема 5: Среда MATLAB