Перспективное изображение

Одним из простейших способов построения реалистичного изображения является построение перспективного изображения или изображения, которое получается при центральном проецировании. Здесь также широко применяются однородные координаты, так как мы можем развернуть объект (или систему координат) к необходимому нам виду. Для простоты рассмотрения вопроса предположим, что центр проецирования (т.е. глаз наблюдателя) лежит на оси z в точке C(0, 0, c), а плоскость проецирования, т.е. экран, совпадает с координатной плоскостью X0Y.

Возьмем в пространстве произвольную точку M(x,y,z) и проведем через нее и точку C прямую и запишем ее параметрические уравнения:

А так как экран у нас X0Y, то найдем точку пересечения построенной прямой с плоскостью на X0Y. Из условия z =0 получаем, что:

и , .

Тот же самый результат можно получить, применяя матрицу:

проверим ,

или разделив на : .

Матрица же соответствующего перспективного преобразования (без проецирования) будет:

.

Рассмотрим пучок прямых, параллельных оси z и посмотрим, что с ними происходит под действием матрицы . Каждая прямая пучка однозначно определяется точкой M(x,y,0) своего пересечения с плоскостью X0Y и определяется:

Переходим к однородным координатам, получаем:

или .

Устремим t в бесконечность, при переходе к пределу точкапреобразуется в :

.

А, .

Т. е. бесконечно удаленный (несобственный) центр (0 0 1 0) пучка прямых, параллельных оси z, переходит в точку (0 0 -с 1) оси z.

Эта точка называется точкой схода. В общем случае (когда оси координатной системы не параллельны плоскости экрана) таких точек три. Матрица соответствующего преобразования выглядит следующим образом:

Пучок прямых параллельных оси 0Х (0Y) (1 0 0 0) (0 1 0 0) переходит в пучок прямых с центром (1 0 0) (0 1 0) или, что то же самое, (-a 0 0 1) (0 -b 0) точки (-a, 0, 0) и (0,-b, 0) – еще две главные точки схода.

Однако строгий эффект перспективы для прямых вертикальных линий не всегда приемлем; часто предпочитают картинки в которых вертикальные линии предполагаются почти вертикальными. Это происходит из субъективности человеческого зрения, т.к. человек больше привязан к горизонтальному или почти горизонтальному направлению взгляда. Художники, например, применяют «псевдоперспективу» когда вертикальные линии рисуются точно вертикальными, даже если направление взгляда не горизонтально. Для практического исключения сильного эффекта перспективы для вертикальных линий рекомендуется выбирать точку наблюдения не очень близко, особенно для направления наблюдения сильно отличающегося от горизонтального.