Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений
Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных. Этот метод использует определители.
Рассмотрим систему линейных уравнений
Вычисляются определители:
, , .
Здесь
- определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;
- это определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов;
- это определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.
1. Если , то система совместная и определенная, то есть имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
.
2. Если , а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместная).
3. Если , то система имеет бесконечно много решений (совместная и неопределенная).
Пример 1. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений
Решение
, поэтому СЛУ имеет единственное решение.
|
|
, .
Тогда ; .
Ответ: система уравнений совместна и определенна, ее единственное решение .
Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений
.
Решение
Определитель системы равен нулю: , однако один из вспомогательных определителей не равен нулю: , значит, СЛУ не имеет решений, то есть СЛУ несовместная.
Пример 3. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений
Решение
, , .
Поэтому система имеет бесконечно много решений.
Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений: .
Выразим через : , значение - любое действительное число. Это и есть выражение для общего решения СЛУ. Ответ можно записать так: , где .
Придавая различные значения, будем получать бесконечное множество частных решений. Например, при получим и первое частное решение . При получим и второе частное решение , и так далее.