2014-02-12
425
Рассмотрим СЛУ
Вычисляются определители:
, 
,
, 
.
1. Если 
, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
, 
.
2. Если 
, а хотя бы один из определителей 
, 
, 
отличен от нуля, то система не имеет решений.
3. Если 
, то система имеет бесконечно много решений.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений 
.
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: 
,
значит, СЛУ имеет единственное решение.
Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.
Ответ: Система совместная и определенная, единственное решение 
.
Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.
Пример 5. Решить СЛУ 
Решение
Вычислим определитель системы: 
Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений.
Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными: 
Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю.
Например, коэффициенты при 
и 
образуют определитель 
. Поэтому оставим в левой части уравнений слагаемые с и , а слагаемые с 
перенесем в правую часть с противоположным знаком.
Неизвестное 
назовем свободным, а неизвестные 
и 
- базисными неизвестными.
Запишем систему в виде 
и применим к ней правило Крамера:
;
Выражение
-
общее решениенеопределенной СЛУ, где - любое действительное число.
Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение.
Например, пусть 
, тогда 
; тогда частное решение 
. И так далее.
