Рассмотрим СЛУ
Вычисляются определители:
, ,
, .
1. Если , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
, .
2. Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений.
3. Если , то система имеет бесконечно много решений.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений .
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: ,
значит, СЛУ имеет единственное решение.
Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.
Ответ: Система совместная и определенная, единственное решение .
Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.
Пример 5. Решить СЛУ
Решение
Вычислим определитель системы:
Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений.
Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:
Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю.
|
|
Например, коэффициенты при и образуют определитель . Поэтому оставим в левой части уравнений слагаемые с и , а слагаемые с перенесем в правую часть с противоположным знаком.
Неизвестное назовем свободным, а неизвестные и - базисными неизвестными.
Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:
;
Выражение
-
общее решениенеопределенной СЛУ, где - любое действительное число.
Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение.
Например, пусть , тогда ; тогда частное решение . И так далее.