Ориентация поверхности

ПОТОК И ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Установим сначала важное для дальнейшего изложения понятие стороны поверхности. В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Если поверхность явным уравнением вида z = f (x,y), то можно говорить о верхней или о нижней стороне поверхности. Если поверхность ограничивает некоторое тело, то также легко представить себе ее две стороны – внутреннюю, обращенную к телу, и внешнюю, обращенную к окружающему тело пространству. Исходя из этого интуитивного представления, постараемся теперь дать точное определение понятия стороны поверхности.

Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку M, проведем через нее нормаль к поверхности и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку M, и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку M по замкнутому контуру вместе с нормальным вектором n так, чтобы вектор n все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом непрерывно. Заставив точку M обойти этот контур и возвратясь в исходное положение, может случиться одно из двух: 1) либо мы вернемся в точку M с тем же направлением нормали, 2) либо же с направлением, противоположным исходному.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то такая поверхность называется двусторонней.

Простейший пример двусторонней поверхности – плоскость. Любая гладкая поверхность, определенная уравнением z = f (x,y) – двусторонняя. Всякая замкнутая поверхность, не имеющая самопересечений, – например, сфера – двусторонняя.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Рис. 6.1

Простейшим примером односторонней поверхности может служить т.н. лист Мёбиуса, изображенный на рис. 6.1. Его можно получить, если прямоугольную полоску бумаги перекрутить один раз и склеить ее концы.

На двусторонней поверхности выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках поверхности. Поэтому двусторонние поверхности называют также ориентируемыми, а односторонние поверхности неориентируемыми. В дальнейшем мы будем рассматривать только двусторонние поверхности. Совокупность всех точек двусторонней поверхности с приписанными в них по указанному правилу направлениями нормали называется определенной стороной поверхности. Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. В частности, для замкнутых поверхностей положительной стороной считается внешняя сторона поверхности.

Рис. 6.2

С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы. Пусть S – ориентированная (т.е. сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющая точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому, наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя (см. рис. 6.2). Противоположное направление называется отрицательным. Если изменить ориентацию поверхности, т.е. изменить направление нормали на противо положное, то положительное и отрицательное направления обхода контура L поменяются местами.