ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей.
Рис. 6.3 Рис. 6.4 Рис. 6.5
ПОЛНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (рис. 6.3) - все образующие одной поверхности пересекают все образующие другой поверхности. В результате получаются двезамкнутые ветви пространственной линии.
НЕПОЛНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (рис. 6.4) - часть образующих одной поверхности пересекается с частью образующих другой поверхности. При этом получается одна замкнутая пространственная линия пересечения.
ОДНОСТОРОННЕЕ КАСАНИЕ (рис. 6.5) - Одна образующая поверхности расположена касательно к другой поверхности. При этом получается замкнутая пространственная кривая линия с самопересекающимися ветвями в точке касания.
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по кривым четвертого порядка. Однако в некоторых особых случаях поверхности второго порядка могут пересекаться по двум плоским кривым второго порядка. Рассмотрим эти случаи.
|
|
1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой второго порядка, то они пересекаются еще по одной плоской кривой второго порядка. На рис. 6.6 показан пример пересечения конуса вращения с круговым наклонным цилиндром. В пересечении этих фигур получаются две плоские кривые - эллипс AB и окружность DE.
Любая плоская кривая, лежащая на поверхности второго порядка, есть кривая второго порядка. Поэтому, если пространственная кривая четвертого порядка распадается на две кривые и одна из них линия второго порядка, то вторая кривая будет плоской кривой второго порядка.
Рис. 6. 6 Рис. 5.7 Рис. 6.8
2. Если две поверхности второго порядка касаются в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. На рис. 6.7 приведен пример пересечения кругового и эллиптического цилиндров, имеющих две точки касания Aи B. В пересечении этих фигур получаются два эллипса - CFи DE,проходящие через точки A и B.
3. Теорема Г.Монжа
Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. На рис. 6.8 приведен пример пересечения двух цилиндров, описанных около одной сферы. В пересечении получаются два эллипса AB и CD.
Эта теорема часто встречается на практике.