2014-02-12
3910
Теорема. Циркуляция дифференцируемого векторного поля a по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L равна потоку вектора rot a через поверхность S, ограниченную контуром L:
(7.9)
Здесь единичный вектор n нормали к поверхности S направлен в такую сторону, чтобы обход контура L происходил в положительном, по отношению к n, направлении.
Замечание 4. Формула (7.9), только в координатной форме, впервые была получена Дж. Стоксом в 1854 г.
Доказательство. Пусть поверхность S, ограниченной кривой L, разбита на большое число малых участков D si, ограниченных линиями D li. Тогда, в соответствии с определением ротора, можно написать 
, где 
означает значение ротора в какой-либо точке на поверхности D si. Просуммируем обе части этого равенства по всем участкам поверхности:
. (7.10)
Левая часть полученного равенства при n ®¥ (D si ®0) можно выразить в виде поверхностного интеграла 2-го рода:
.
Сумму в правой части (7.10) преобразуем следующим образом. Все внутренние участки соприкасаются друг с другом. Тогда все криволинейные интегралы по линиям соприкосновения будут входить в указанную сумму два раза, но в разных направлениях. В результате, в сумме эти интегралы дадут нуль. Следовательно, останется лишь сумма интегралов по внешней линии L:
.
Таким образом, мы получаем формулу Стокса.
Пример 7.6. Вычислить циркуляцию векторного поля a = x 2 y 3 i + j + z k по окружности L: x 2+ y 2= R 2, z =0.
Решение. Поскольку rot a =–3 x 2 y 2 k (см. пример 7.4), то по теореме Стокса получаем
.
Такой же получится ответ, если непосредственно вычислить криволинейный интеграл 
.
