Дифференциальные операции второго порядка

В различных приложения векторного анализа часто встречаются так называемые дифференциальные операции 2-го порядка, т.е. попарные комбинации трех основных операций: градиента, дивергенции и ротора. Всего можно образовать 5 таких пар:

Вообще говоря, комбинируя символы grad, div и rot, можно образовать 9 пар. Однако четыре из них: div div, grad grad, grad rot, rot div, не имеют смысла (объясните почему?).

Первое и второе выражения тождественно равны нулю. Это можно доказать, если расписать эти выражения по компонентам. Однако это легко объяснить, если привлечь аналогичные формулы из векторной алгебры. Для формулы 1⁰ можно написать Ñ´(Ñj)=(Ñ´Ñ)j, но векторный квадрат, как известно, всегда равен нулю: a ´ a =0. Выражение 2⁰ можно сравнить со смешанным произведением a (a ´ b)=0, т.к. a ^ a ´ b. То, что формулы 1⁰ и 2⁰ тождественно равны нулю, имеет особое значение для потенциальных и соленоидальных полей.

Остальные формулы не обязаны обращаться в нуль. Они часто встречаются в различных опросах механики и электродинамики, причем между ними существует взаимосвязь. Рассмотрим выражение 3⁰, в котором первые два символа можно рассматривать как скалярный квадрат вектора Ñ:

(8.15)

Этот дифференциальный оператор 2-го порядка называется оператором Лапласа (или лапласианом) и применим не только для скалярных, но и для векторных функций:

. (8.16)

Далее, воспользовавшись формулой двойного векторного произведения (8.13), можно написать

. (8.17)

Пример 8.1. Вычислить Ѳ a, Ñ(Ñ a), Ñ(Ñ´ a), Ñ´(Ñ´ a), если

.

Решение. Находим дифференциальные операции 1-го порядка

,

,

а также лапласиан

,

где

, ,

.

После этого находим

,

,

.