2014-02-12
2456
Потенциальные поля
Векторное поле a называется потенциальным, если в каждой его точке ротор равен нулю:
(8.18)
В связи с эти потенциальные поля часто называют безвихревыми. Примером потенциального поля может служить электростатическое поле.
Мы выяснили, что rotgrad jº0. Это значит, что если векторное поле является потенциальным, то его можно представить в виде градиента некоторой функции:
. (8.19)
Поэтому потенциальные поля часто называют градиентными. Функция j называется потенциалом и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Замечание. В физике при рассмотрении разного рода силовых полей потенциалом поля F обычно называют так j, что F =–gradj, т.е. он отличается от выше определенного только знаком.
Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:
. (8.20)
Эта формула является следствием теоремы Стокса. Однако теорему Стокса можно применить только в том случае, когда найдется такая поверхность, ограниченная контуром L, которая не выходит за пределы данного векторного поля. Такое возможно только для односвязных областей.
|
|
|
 |
Область D называется односвязной, если любой замкнутый контур можно непрерывно деформировать (стянуть) в точку, не выходя за пределы этой области. Например,
Итак, векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда равна нулю циркуляция по любому замкнутому контуру, который можно стянуть в точку, не пересекая его границ.
Из формулы (8.20), в частности, следует, векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми. Действительно, если бы во всюду непрерывном поле могли существовать замкнутые векторные линии, то циркуляция по такой линии не могла бы быть равной нулю, т.к. произведение a d l вдоль такой линии сохраняло бы постоянный знак, и поэтому 
. Отметим, что с точки зрения течения жидкости равенство нулю циркуляции означает, что в потоке нет замкнутых векторных линий, т.е. нет водоворотов.
Отметим, что выполнение любого из условий (8.18)-(8.20) являются достаточными для того, чтобы векторное поле было потенциальным и выполнялись остальные условия.
