Метод суперпозиции

Назовем точечным стоком на плоскости точку, которая поглощает жидкость (Ф < 0). В качестве стока можно рассматривать добывающую скважину считая, что ее диаметр бесконечно мал. На плоскости вокруг точечного стока лини тока будут представлять собой прямые линии, направленные к скважине, а линии равного потенциала будут окружности (рис. 5.1., а). Нагнетательная скважина (Ф > 0), из которой жидкость попадает в пласт, представляет собой источник (рис. б)

Рис. 5.1. Источник и сток на плоскости. /Басниев, стр. 148/

Найдем потенциал добывающей скважины (стока). Для этого спроектируем уравнение (5.1) на цилиндрическую систему координат. В результате получим

(5.3)

В добывающей скважине скорость направлена к полюсу полярной системы координат и при проектировании её на ось or появляется знак минус, поэтому в равенстве (5.3) знак минус отсутствует.

Введем удельный дебит q на единицу толщины пласта q=Q/h и выразим его через скорость фильтрации

Следовательно, равенство (5.3) можно переписать в виде

Разделим переменныеи проинтегрируем. В результате получим

(5.4)

где С – постоянная интегрирования.

Потенциал в окрестности скважины – стока пропорционален логарифму расстояния r от стока (центра скважины). При и функция обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.

Аналогичные рассуждения можно повторить для случая, когда на плоскости находится источник (нагнетательная скважина)

(5.5)

Потенциал точечного стока в пространстве, движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации

Откуда ,

и потенциал точечного стока в пространстве . (5.5*)

Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (5.5) меняется на противоположный.

Уравнению Лапласа удовлетворяет не только давление, но и введенные равенствами (5.4), (5.5) потенциалы:

(5.6)

Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами: сумма частных решений и произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений).

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами , где i = 1, 2… N каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, но комбинация этих потенциалов также удовлетворяет уравнению Лапласа (5.6). (где с_i – произвольные постоянные)

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются. Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины, по правилам сложения векторов.

Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков. Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле (5.4):

; ,

где - расстояния от первого, второго, …. n – го стоков до точки М;

- постоянные.

Каждая из функций удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда сумма потенциалов

, (5.7)

также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений.

Вектор скорости фильтрации ω в точке М равен сумме скоростей фильтрации в каждой скважине, если бы на пласте работала только она одна (рис. 5.2, б):

, (5.8)

где модуль вектора скорости равен

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины-стоки или скважины-источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков.

Рассмотрим использование методов суперпозиции и отображения источников и стоков на некоторых задачах, имеющих практическое значение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.