Примеры решения задач. 10.8.1. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты

10.8.1. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на двадцать секунд.

Решение. Случайная величина X, о которой идет речь в задаче, - это разность в секундах между истинным временем и временем, которое показывают часы. Из условия задачи можно заключить, что часы только опаздывают, а сама разность - это равномерно распределенная на отрезке [0, 60] случайная величина (ее значения образуют пространство элементарных исходов). Требуется найти вероятность p (X £ 20). Таким образом, a = 0, b= 60, p (X £ 20) = p (0 £ X £20) = .

10.8.2. На отрезке длины 1 случайным образом выбирается точка. Ею отрезок делится на два «куска», вообще говоря, разной длины. Какова средняя длина меньшего куска? Чему равно среднее отношение длин кусков отрезка?

Решение. Случайная величина X – координата точки на отрезке - имеет равномерное распределение с параметрами a = 0, b = 1.Но тогда случайная величина Y – длина меньшего куска – равномерно распределена на отрезке (0; 0,5),поэтому M (Y) = 0,25.

Отношение длин короткого и длинного кусков – это случайная величина Z, равная

Отсюда

10.8.3. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с параметром λ =3. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (0,13; 0,7).

Решение. .

10.8.4. Вывести правило “трех сигм”: вероятность того, что модуль отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Решение.

.

10.8.5. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (-1; 6).

Решение.

= 0,1915-(-0,4987)=0,6902.