Нормальное распределение. Найдем числовые характеристики показательного распределения

Рис. 10.11

Найдем числовые характеристики показательного распределения.

. (10.25)

.

; . (10.26)

Ясно, что мода равна нулю. Найдем медиану. Из условия

следует, что .

Вероятность попадания в интервал (α, β), , равна

. (10.27)

Показательное распределение используется, например, в теории массового обслуживания.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности задается формулой

, ,

где а < ¥ и σ > 0 – параметры закона.

График функции плотности вероятности нормального закона показан на рис. 10.12.

Рис. 10.12

График симметричен относительно прямой х = а.

Ниже показательная функция е^х будет иногда обозначаться EXP (х) для удобства чтения текста.

Найдем числовые характеристики нормального закона. Ясно, что мода и медиана вследствие наличия оси симметрии равны а.

.

Положим , тогда , откуда

, так как - это известный из курса анализа интеграл Пуассона.

Математическое ожидание нормального закона равно значению параметра а.

,

Итак, D (X) = σ ², σ (X) = σ. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно значению параметра σ.

Вычислим вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение из интервала (α, β).

Функция

(10.28)

называется функцией Лапласа. Для нее составлены таблицы, по которым, зная аргумент х, можно найти величину Φ (х). Можно, конечно, решить обратную задачу: по значению функции Лапласа найти значение аргумента.

Укажем три простых свойства функции Лапласа:

1. .

2. .

На самом деле уже для значений аргумента х ³ 5 можно считать, что .

3. .

Таким образом, функция Лапласа нечетна.

Мы показали, что

. (10.29)

Теперь легко описать функцию распределения нормального закона с параметрами a и s. В самом деле

.

(10.30)

В некоторых пособиях по теории вероятностей приводятся таблицы функции

. Нетрудно видеть, что ,

так что .

Иногда приводится таблица значений функции

, , поэтому

.

Для интервала |Х - а| < δ имеем , поэтому

. (10.31)

Опишем еще закон распределения линейной функции Y = cX + d нормально распределенной случайной величины Х, где c и d - заданные числа. Случайная величина Y принимает значения на всей числовой оси.

.

Получена функция плотности нормального закона с параметрами , .

Линейная функция нормально распределенного аргумента также нормально распределена.

Нормальное распределение довольно часто встречается при решении практических задач. В приложении приведена таблица нормального распределения (таблица функции Лапласа).